小学生的大问题

manthanein

给定定义在非负整数上的函数\(F(x)\)：
\(\D F(x)=mx+n\left\lceil{\D \frac{u-ax}{b}} \right\rceil\)
其中\(a\)、\(b\)、\(m\)、\(n\)、\(u\)为正的常数，已知。
求\(F(x)\)的最小值及此时\(x\)的值。

mathematica

明显是个假问题，小学生能学到一元一次方程，就很不错了，
这儿这么多变量，小学生怎么解决？

manthanein

\(\D F(x)=mx+n\left\lceil{-\D \frac{ax-u}{b}} \right\rceil=mx-n\left[\D \frac{ax-u}{b}\right]\)

manthanein

大概是这种图形，似乎是线段按一定方向平移后形成的。
只要知道每个线段的方程及平移向量就大概可以解决问题了。

manthanein

试验了一下，图形应该是夹在平行线\(\D y=mx+{\frac{n(u-ax)}{b}}\)和\(\D y=mx+{\frac{n(u-ax)}{b}}+n\)中间。

manthanein

若\(\left\lceil{\D \frac{u-ax_1}{b}}\right\rceil=\left\lceil{\D \frac{u-ax_2}{b}}\right\rceil=A\)，（假定\(x_1\lt x_2\)）
则：\(\D 0\lt \frac{ax_2-ax_1}{b} \lt 1\)
所以：\(\D 0 \lt x_2-x_1 \lt \frac{b}{a}\)

同时：
\(\D F(x_1)=mx_1+nA\)
\(\D F(x_2)=mx_2+nA\)

综上：
每条小线段的斜率为\(m\)
相邻两条小线段的距离是\(y=mx\)和\(\D y=m(x+\frac{b}{a})\)之间的距离。

manthanein

也就是说每条线段所在直线的方程为\(\D y=m(x+k\frac{b}{a})\)

manthanein

\(\D y=mx+{\frac{n(u-ax)}{b}}\)
\(\D y=m(x+k\frac{b}{a})\)
联立：
\(\D \frac{n(u-ax)}{b}=\frac{kmb}{a}\)
\(an(u-ax)=kmb^2\)
\(\D x=\frac{anu-kmb^2}{a^2n}\)

manthanein

\(\D y=mx+{\frac{n(u-ax)}{b}}+n\)
\(\D y=m(x+k\frac{b}{a})\)
联立：
\(\D \frac{n(u-ax)}{b}+n=\frac{kmb}{a}\)
\(an(u-ax)+abn=kmb^2\)
\(\D x=\frac{anu+abn-kmb^2}{a^2n}\)

manthanein

实战：
m=7
n=5
u=17
a=2
b=3

小线段方程：\(2y=14x+21k\)
\(a^2n=20\)
\(anu=170\)
\(abn=30\)
\(mb^2=63\)