这个特殊的方程能不能用三角函数来解？

manthanein

在一个公差为d的等差数列中选取连续的N项，这N项的乘积为M，给定M、N、d，找出这N项的值。
当方程次数大于4时，一般根式解是不存在的，但如果允许使用三角函数呢？

mathe

多项式我们总是可以通过牛顿迭代法求解。这类函数主要的问题在于我们需要分析对于给定的函数，它又多少个实数解，分别落在哪些区间（所以我们牛顿迭代法时初始值该如何选择）。
首先对于本题，公差d的选择是不重要的，通过改变参数$M,N,d$为$M/{d^N},N,1$就可以将问题转化为公差为1的题目。
比如N=6的情况，那么问题就变成解方程$M=(x-1)(x-2)...(x-6)$
我们可以先作出函数$f(x)=(x-1)(x-2)...(x-6)$的图如下

可以看出，对于此类函数，其各极值点分布首先是左右对称的，而函数在极值点的取值的绝对值是中间小，两边大。
利用这种性质，只要事先计算出函数$f(x)$在各极值点的取值，那么对于各个不同的M,就可以很轻松的判断出$M=f(x)$的实数解的数目以及各实数解所落的区间，然后可以轻松的用牛顿迭代法求出所有的实数解。
唯一的问题就是我们需要证明上面的结论，但是这个证明其实也不复杂。

mathe

设\(f_n(x)=\prod_{u=1}^n(x-u)\)
于是\(f_n'(x)=f_n(x)\sum_{u=1}^n\frac1{x-u}\)
记\(h_{nk}(x)=\sum_{u=1}^n\frac1{x+k-u}=\sum_{u=0}^{k-1}\frac1{x+u}-\sum_{u=1}^{n-k}\frac1{u-x}, 0\le x\le1\)
很显然，对于任意的$n,k$都有$\lim_{x->0+}h_{nk}(x)=+\infty,\lim_{x->1-}h_{nk}(x)=-\infty$
而且$h_{nk}(x)$在区间$(0,1)$上是单调减函数，于是存在唯一的$\epsilon_{nk}$使得$h_{nk}(\epsilon_{nk})=0$
而$f_n'(k+\epsilon_{nk})=f(k+\epsilon_{nk})h_{nk}(\epsilon_{nk})=0$
所以$k+\epsilon_{nk}$即为函数$f_n(x)$在区间$(k,k+1)$中的唯一极值点。
又因为\(h_{n,k+1}(x)-h_{nk}(x)=\frac1{x+k}+\frac1{n-k-x}>0,(当0<x<1)\)
所以我们知道$h_{n,k+1}(\epsilon_{nk})>h_{nk}(\epsilon_{nk})=0$
由于$h_{n,k+1}$单调减，所以得出$\epsilon_{n,k+1}>\epsilon_{nk}$
于是我们有$\epsilon_{n1}<\epsilon_{n2}<...<\epsilon_{n,n-1}$
于是对于$u>v$,$h_{n u}(\epsilon_{n v})>h_{n v}(\epsilon_{n v})=0, h_{n v}(\epsilon_{n u})<h_{n v}(\epsilon_{n v})=0$
另外由于
$\frac{d|f_n(x)|}{dx}=|f_n(x)|\sum_{u=1}^n\frac1{x-u}$
所以我们可以得到$|f_n(x)|$在$[k,k+\epsilon_{nk}]$是增函数，在$[k+\epsilon_{nk},k+1]$是减函数。
所以在$k+1<=n/2$时，必然有$\frac{|f_n(k+\epsilon_{nk})|}{|f_n(k+1+\epsilon_{n,k+1})|}>\frac{|f_n(k+\epsilon_{n,k+1})|}{|f_n(k+1+\epsilon_{n,k+1})|}=\frac{n-k-\epsilon_{n,k+1}}{k+\epsilon_{n,k+1}}$
又因为根据对称性显然在$k<n/2$时有$\epsilon_{nk}<1/2$,所以得出$n-k-\epsilon_{n,k+1}>n-k-1/2>=k+1/2>k+\epsilon_{n,k+1}$,所以有$\frac{|f_n(k+\epsilon_{nk})|}{|f_n(k+1+\epsilon_{n,k+1})|}>1$,证明了我们的结论。

wayne

这个函数有点意思。应该有专门的名字。

$f(x) $关于$x={n+1}/2$的对称可以通过简单的变换看得出来。
当$n=2m-1$的时候，$f(x) = (x-1)(x-2)...(x-2m+1) =X (X^2-1^2)(X^2-2^2)...(X^2-(m-1)^2),  X=x-m$, 所以 $f(x)$关于$({n+1}/2,0)$中心对称
当$n=2m$的时候，$f(x) = (x-1)(x-2)...(x-2m) =(X^2-(1/2)^2)(X^2-(3/2)^2)...(X^2-(m-1/2)^2),  X=x-(m+1/2)$, 所以 $f(x)$关于$x={n+1}/2$轴对称

因为对称，所以，极值点也是对称的。

wayne

Falling and rising factorials
https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials
http://mathworld.wolfram.com/FallingFactorial.html
http://mathworld.wolfram.com/RisingFactorial.html

Pochhammer 函数。
http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html