和平面图形的面积有关的问题

manthanein · 发表于 2019-1-31 19:57:55

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给定一个平面图形，如果它的面积$S$完全依赖于一条线段的长度$a$，那么是否可以得$S=ka^2$？（$k$为常数）
这是我从量纲角度弄出来的。

hujunhua · 发表于 2019-1-31 20:35:02

取决于所谓的”完全依赖“怎么定义。

manthanein · 发表于 2019-1-31 20:45:42

hujunhua 发表于 2019-1-31 20:35
取决于所谓的”完全依赖“怎么定义。

就是只有这个长度以及它变化时会影响到的量可能有变化，其他恒定

hujunhua · 发表于 2019-1-31 21:07:02

直角三角形一条直角边 b 给定，另一条直角边 a 自由伸缩。面积 S 完全依赖于 a, S=ab/2.

manthanein · 发表于 2019-1-31 21:15:25

hujunhua 发表于 2019-1-31 21:07
直角三角形一条直角边 b 给定，另一条直角边 a 自由伸缩。面积 S 完全依赖于 a, S=ab/2.

这个反例很好，我是从量纲角度想的。

mathe · 发表于 2019-2-1 13:52:49

还可以非线性，设直角三角形内接于直径为c的定圆，其面积完全依赖于一条直角边a的长度，于是另外一条直角边长度为变量$\sqrt(c^2-a^2)$,面积为$a/2\sqrt(c^2-a^2)$

只是呼吸 · 发表于 2019-2-2 13:36:05

本帖最后由只是呼吸于 2019-2-2 13:54 编辑

圆环的面积也仅仅依赖于一条线段$a$:（线段$a$是外切于圆环内圆，$a$的两个端点交于圆环外圆，因为我画不了图，只能描述）

$s_{圆环}= \frac{\pi}{4} a^2$

当圆环的内圆收缩为一个点时，$a$ 扩大到成为“外圆”的直径，此时：

$s_{圆环}=s_{圆}= \frac{\pi}{4} a^2$

当圆环的内圆扩大，扩大到与圆环的外圆重合，此时圆环的面积为$0$，相应地，线段$a$也收缩为$0$

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