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[原创] 证明在2^n-2的数列中模2^K-1只有k类余数

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发表于 2019-2-10 17:35:44 | 显示全部楼层 |阅读模式

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数列是有2^n的前n项和构成(n≥1,是正整数),有等比数列求和公式得s=2^(n+1)-2,求证mod(2^(n+1)-2,2^K-1)的余数类只有k种。

与此有关的命题:mod(2^(n+1)-2,2^K+1)的余数类只有2k种.   模是否为素数无关。
素数P如果能写成(2^K-1)/(2^m-1)的形式,则mod(2^(n+1)-2,P)的余数类也是k种(2^m-1为素数,是合数时不知道是否成立)
素数P如果能写成(2^K+1)/(2^m+1)的形式,则mod(2^(n+1)-2,P)的余数类也是2k种(2^m+1为素数,是合数时不知道是否成立)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-10 17:49:21 | 显示全部楼层
对于素数3来说,它既是2^2-1的形式,也是2^1+1的形式,所以两种命题都成立,一种是2个余数类,一个是2*1个余数类,除此素数以外,再没有其它素数可以写成两种形式。
素数7=2^3-1所以只有3种余数,31=2^5-1所以只有5种余数,17=2^4+1所以有2*4=8种余数,不在多举例子。后两种类型的素数谁能找到,看一看余数是不是命题所给类数,如果你能找到一个反例那就算你证明了此命题为假。不过再过100年也没有人会找到反例。
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发表于 2019-2-11 11:34:35 | 显示全部楼层
2^n-2与2^n对同一个模来说,剩余类的个数有差别么?
你的命题就是对于模2^k-1, 2的指数是k呗,这是不证自明的。
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 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
2^n-2与2^n对同一个模来说,剩余类的个数有差别么?

你说的这个我能理解:对于所有这样类型的数列2^(n+m)-2^m与2^n对同一个模来说,剩余类的个数相同。

你的命题就是对于模2^k-1, 2的指数是k呗,这是不证自明的。

这接下来的,不证自明,就不知道是什么原理的,在数论中有这样的定理吗?
那剩下的命题呢?如果素数P*(2^m+1)*合数(或素数,或1)=2^K+1,则素数P的剩余类个数也是2k,但是素数P本身不是2^K+1形的数,也就是说在2^K+1的因子中,如果有2^m+1形的素数,它的剩余类个数是2m,不受它写成的形式2^K+1中的k限制,而实际上这样的素数少之又少,它就是费马素数,3,5,17,257,65537,现在仅知道的,在所有2^K+1的合数中必定含有费马素数(除费马数以外,它是素数时,即本身,它不是素数时,它含的因子没有费马素数,在费马数不是素数时,它所含因子不能写成*(2^m+1)得到2^K+1,但是它中的素数都是有2k个余数类),在这个命题中还有一个问题,那就是素数P*(2^m+1)*合数(或素数,或1)=2^K+1可能有多个对应值k,那就不好判断它的剩余类个数了,实际上它是从最小的k值,即从小往大第一次写成2^K+1形式中k的2倍,以后如果有高次的k也含有较小次数k中的素数因子,它的素数因子的剩余类个数从较小k。
素数P*(2^m-1)*合数(或素数,或1)=2^K-1,它的剩余类个数为k。   实际上2^K-1中的素数因子包括所有除2以外的素数。而2^K+1中就有好多素数不是它的因子,如7,23,等等
数列2^(n+m)-2^m  (m是定值,n是变量),模2^K+1形的数,剩余类的个数为2k。

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 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
如果是数列2^n模2^k的剩余类个数为k,这到是显而易见,因为当n≥k时,以后的项都能整除它(2^k),可对于2^K-1就不同了,到了k项能整除它,以后的又不能整除了,前边的模对数列2^n来说,只有前(k-1)项是不同的余数,而模2^K-1对于各类余数的个数是相同的(指它能有的剩余类,不出现的余数个数为0),即出现率都是1/k。如果把模换成2^K-3还能显而易见,不证自明吗?实际上就难的多了,它不能在分组,k项一组,k项一组(从最高位向低位划分,说分组是把数列的单式表示形式改成原始的n项和形式)。对于2^k+1形的数就得两项一组,两项一组了,组成k个两项的组合(非k项一组),这就是命题的提出依据和证明方法。
对于后边的还是不能给出合理的解释,但是命题是真的,不会有反例。
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