等差数列有趣的规律及猜想（0的0次方到底是多少？）

redwood

      这是关于等差数列的猜想，始于高考前夕数学课上，虽高考前夕惜时如金，却侥幸有此发现并饶有兴趣的用纸笔进行了初步验证；后大学生活丰富多彩，却深感各种数学猜想纷繁且均是博大精深，自己的猜测未能得到论证且如浩瀚星空之一尘，更与“哥德巴赫猜想”有天壤之别，未免让人感觉幼稚，因此束之高阁。
      廿年后闲暇之余访问《中国知网》，却发现无此种数列猜测，于是重操纸笔并进行了深入分析和些许拓展，希望能在某些领域提供帮助，寻时发布以享来者。
以下正文，望各位指正：

高中时期的发现：自然数列平方后形成的数列（蓝色部分），若后一位与前一位差值 组成新的数列，则新数列差值为“恒值”2（绿色部分），重复差值运作，则为0。
详见表格1


以上只是初步的推测，经过进一步的分析，推演数据及经过如下：
详见表格2

由此拓展为数列的10次方，结果又是多少呢？
详见表格3

综上发现以下有趣的“差值现象”：
1、 由公差为d的整数数列的n次方的数值（n，d为自然数，可否为0？待讨论）作为该现象的“基础序列”（X1,X2…Xm-1,Xm），由X2与前一位X1的差值形成新序列的第一位X11，由Xm与前一位Xm-1的差值形成新序列的最后一位X1（m-1），该形成的新序列为“第1次差值序列”，以此类推，将有如下现象和结论：
a、  当第n次形成数列时，即“第n次差值序列”，该数列的数值为固定值，称“数列差值常数”。
b、  当第n+1次形成数列时，即“第n+1次差值序列”，该数列的的值均为0，称“数列终差为0”。
2、同时：
当公差d=1时，该数列差值常数为：1*2*…*（n-1）*n
当公差d=2时，该数列差值常数为：2*4*…*（2n-2）*2n
依次列推。该数列差值常数为：（1*d）*（2*d）*…*（nd-d）*nd

验证：当公差d=2时，有如下结果：
详见表格4

经多次验证符合上述“差值现象”。

发散讨论：
1、0的0次方曾经有人论断为无限接近于1，是否在此可以下判断就是1呢？
2、当n=0时，是否也有此推论？
3、当n为负数，结果又该如何？

redwood

望各位不吝指正！
图四要隔天上传了

lsr314

差分

zeroieme

作为已经经历高考的楼主，还记得二项式定理吗

manthanein

为什么都成了仅作者自己可见了？

redwood

不好意思，这个虽然有些像二项式定理，但是这个是反复求差值的，不会太差吧！

redwood

因为觉得自己思路还不太成熟，所以仅自己可见了！
我认为虽然有些像二项式定理，但是这个是反复求差值的，因此和二项式还是有些区别的。

redwood

非常感谢提醒！
这个我认为虽然有些像二项式定理，但是这个是反复求差值的，因此和二项式还是有些区别的。
另外我曾经用很多公式求证过，实在证的自己都有些晕了，也没推论到最后1*2*3*4*5*6*，*n的结论。
相信大家的智慧能帮我！

zeroieme

楼主搞了个此帖仅作者可见，于是只有作者自己和管理员知道1#以下在说什么

manthanein

楼主，我记得李莼纺（好像是这个名？）的代数书里提到过的，叫高阶等差数列求和公式，用的是一样的原理