Prime函数的逆函数是什么函数?

mathematica

用mathematica软件,
求第1个素数就用Prime[1]
求第2个素数就用Prime[2]
求第10个素数就用Prime[10]
但是有时候我知道某一个素数,比如257,我想反过来求是第几个,应该如何解决呢?

比如求193707721是第几个素数,
我是这样求的

1. Clear["Global`*"];
   
2. s=FactorInteger[2^67-1][[1,1]](*需要被判定的素数*)
   
3. (*先求出下界与上界*)
   
4. a=IntegerPart[n/.FindRoot[193707721==n*(Log[n]+Log[Log[n]]-0),{n,10000},WorkingPrecision->30]]
   
5. b=IntegerPart[n/.FindRoot[193707721==n*(Log[n]+Log[Log[n]]-1),{n,10000},WorkingPrecision->30]]+1
   
6. (*用二分法求得是第多少个素数*)
   
7. Do[
   
8.     c=IntegerPart[(a+b)/2];
   
9.     pc=Prime[c];
   
10.     If[pc<s,a=c,b=c];
    
11.     If[pc==s,Print[{c,pc}];Break[]],
    
12.     {k,1,5000}
    
13. ]
    

复制代码

运行结果

193707721

10236692

10775121

{10749692,193707721}
所以193707721是第10749692个素数,我好奇软件是如何快速求解出第10749692个素数的.
循环16次,找到这个结果,要是有现成的逆函数就好了

mathematica

关于第n个素数的近似公式见维基百科
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

mathe

你要的就是素数计数函数，大名鼎鼎的$pi(x)$, https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

lsr314

不大于x的素数个数 PrimePi[x]

mathematica

lsr314 发表于 2019-2-15 17:03
不大于x的素数个数 PrimePi[x]

但是我感觉这个计数函数有什么快速的计算方法,mathematica一下子就算出来了,不像是穷举弄出来的

mathe

这个问题你不是第一次问了，本论坛上也已经回答过了

mathematica

mathe 发表于 2019-2-16 09:20
这个问题你不是第一次问了，本论坛上也已经回答过了

你肯定记错了,我第一次问
我自己查到了
Lagarias Miller Odlyzko 算法


https://www.zhihu.com/question/24942373

mathematica

1. 
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. n=FactorInteger[2^67-1][[1,1]]
   
4. a=IntegerPart@LogIntegral[n]
   
5. b=PrimePi[n]
   
6. N[(a-b)/b,10]
   

复制代码

193707721
10750500
10749692
0.00007516494426
还是这个对数积分牛

mathe

的确，上一次不是你问的 https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... id=15604&page=1

dlpg070

mathematica 发表于 2019-2-16 10:21
193707721
10750500
10749692

RiemannR[x] 比 LogIntegral[x] 更好

1. Plot[{RiemannR[x], LogIntegral[x], PrimePi[x]}, {x, 1, 100}]

复制代码