已知一点到三角形三个顶点长，求三角形三边长

manthanein

在平面上，已知一点P到三角形ABC三个顶点长（也就是PA、PB、PC已知），求三角形三边长，可能吗？如果给出三角形的三个角呢？

mathe

显然需要给出三个角，这时候应该有两个解

hujunhua

当再给定三个角后，问题就相当于在一个给定的三角形ABC中确定一点P，使得PA：PB：PC=u:v:w（给定的比例）。

hejoseph

光有 $PA$、$PB$、$PC$ 的长度显然不能确定 $\triangle ABC$。若三个角已知，则 $a : b : c$ 是已知的，利用下面结论就可以得到结果：
平面四点 $A$、$B$、$C$、$D$ 之间 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，$AD=p$，$BD=q$，$CD=r$，令
\begin{align*}
P_1&=(ap)^2(-a^2+b^2+c^2-p^2+q^2+r^2)\\
P_2&=(bq)^2(a^2-b^2+c^2+p^2-q^2+r^2)\\
P_3&=(cr)^2(a^2+b^2-c^2+p^2+q^2-r^2)\\
Q&=(abc)^2+(aqr)^2+(brp)^2+(cpq)^2
\end{align*}
则有
\[
P_1+P_2+P_3=Q
\]

白白白

hejoseph 发表于 2019-2-19 13:49
光有 $PA$、$PB$、$PC$ 的长度显然不能确定 $\triangle ABC$。若三个角已知，则 $a : b : c$ 是已知的，利 ...

这个公式有没有名字啊