椭圆曲线的加法定义是怎么来的?

mathematica

要是P+Q定义成G点,我还能理解,
但是为什么会定义成P+Q=R点呢?
我不理解,有谁知道这么定义的原因吗?
第一个这么定义的人是怎么想的呢?


资料
https://www.jianshu.com/p/eece4117cb63

mathe

这个还是比较容易的。如果我们查看平面上直线的代数形式，3个系数，两个自由度，所以两点确定一条直线，所以过固定的一点可以得出含一个参数的直线束。同样我们可以得出过固定四点可以得出含一个参数的二次曲线束。但是继续类推到三次曲线，应该过固定八点可以有含一个参数的三次曲线束，但是数学家发现过八点的三次曲线束总会过一个第九点。
特别的，三条直线可以看成退化的三次曲线。任做两条直线和三次曲线相交各有三个交点，两两连接又得出三条直线各自交三次曲线到第三点，那么根据前面结果就有这三个点必然共线。
由此，我们把共线三点看成和等于0的三点可以满足结合率，就可以定义出合法的加法了

mathe

红黑蓝三组共点三次曲线系（过八个公共点必然过第九点）


椭圆曲线的加法结合律

红色直线：R,S,-(R+S); T, -(R+S+T), R+S; S+T, -(S+T),无穷远点
蓝色直线：S, T, -(S+T); R, -(R+S+T), S+T; -(R+S), R+S, 无穷远点
再加上椭圆曲线本身都过这九点。

hujunhua

数学基本运算的模式都是二生三，三次曲线上的点也存在这种模式：其上两点通过连线与曲线相交可得到第三点。
相同的模式使人联想到运算。

P、Q、G这三点地位是相同的，如果定义 P+Q=G, 则按该定义同样有P+G=Q， G+Q=P，这不就自相矛盾了吗？
考虑到对称性，只能寄希望于这种运算满足 P+Q+G=0，即P+Q=-G. 希望这样能导出一种合适的二元运算。
这个运算显然是满足交换律的，对于共线三点显然也满足结合律。
正如楼上mathe所给出的，事实上对于任意三点，运算也满足结合律。

假定右边的零元是存在的，相应地可定义逆元。
由P+(-P)+0=0可知元、逆元与零元共线。
取上行P=0知，零元必是直线与曲线的三重交点，即三次曲线的一个拐点。

在椭圆曲线论中这个拐点被射影到无穷远点，使得-(x,y)=(x,-y), 确实有点“反人类” 。
其实射影为曲线的自对称中心并作为原点，使-(x,y)=(-x,-y)更符合习惯（下图所示），但这样射影的话就不是椭圆曲线了。

（A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

葡萄糖

可以参考《量子杂志》数学网页这篇文章
Without a Proof, Mathematicians Wonder How Much Evidence Is Enough
https://www.quantamagazine.org/w ... is-enough-20181031/
的视频：
What points on the elliptic curve y^2 = x^3 – 4x + 1 are rational (meaning their values can be expressed as fractions)?
To find them, draw lines through pairs of rational points. All the additional points that the lines intersect will also be rational.