抛物线的外切三角形的外接圆过抛物线的焦点

lsr314

如图，作抛物线的三条切线，证明过交点H、I、J的圆经过抛物线的焦点C。
三角形顶点与对边切点之间的连线交于一点G。固定抛物线和圆，当点H在抛物线外部的圆上运动时，由Pontelet闭合定理，仍存在这样的三角形，内接于圆，三边与抛物线相切。点G的轨迹是图中绿色的曲线，端点就是抛物线和圆的交点。这段轨迹是否是圆锥曲线呢？

mathe

绿色曲线是圆锥曲线我们已经证明过了，和前面那个题目里面的G是圆是等价的。而且这个曲线会通过圆和双曲线的所有公共交点（包括两个虚交点）

mathe

这个题目的含义就是圆的两个虚无穷远点除了无穷远直线，关于抛物线的另外一条切线过抛物线的焦点，或者说抛物线和虚直线$x+- i y=0$平行的切线过焦点。
不妨设抛物线$y^2=4x$,焦点极线为准线$x=-1$,交抛物线于$(-1,+-2i)$,这俩点切线为$+-2i y=2x-2$,过焦点$(1,0)$，经过无穷远点$(1,+-i,0)$.得证

mathe

上面的证明方法的原理如下：
根据Pontelet闭合定理，
我们知道在圆上任意选择一点做抛物线的两切线和圆交出的两个点的连线必然还是同抛物线相切。
由于所有的圆都通过两个无穷远点$(1,+-i,0)$,或者你可以类比双曲线$x^2-y^2=1$有两条渐近线$x+-y=0$,所以双曲线和这两个方向的直线相切于无穷远点$(1,+-1,0)$。
同样圆在复数范围都有渐近线$x+-iy=0$，也就是和这两条直线相切于无穷远点$(1,+-i,0)$。
而无穷远直线正好是抛物线的切线，相切于抛物线对称轴和无穷远的交点。比如对于抛物线$y^2=4x$就是相切于无穷远点$(1,0,0)$
所以说明过两个无穷远点$(1,+-i,0)$向抛物线做出的另外两切线（去除无穷远直线后）必然交于目标圆上一点。
然后经过计算就发现这个点正好是抛物线的焦点，说明这个圆必然过抛物线焦点。
而上面的计算过程反过来，既然焦点是这两条切线的交点，那么这两个切点的连线必然是焦点关于抛物线的极线，也就是准线。所以我们可以先计算准线和抛物线的交点，然后证明这两个点的切线分别经过无穷远点$(1,+-i,0)$即可