多项式转化为初等对称多项式表达式的算法

zeroieme

我觉得我发明了一个新算法，初步搜索没找到别人发表过。哪里能找到“很多结果”

另外我不明白下面的内容
https://reference.wolfram.com/la ... Polynomials.html.zh

当变量的顺序固定的时候，任意多项式f可以被唯一地表示为一个对称多项式p，称为f的对称部分，和一个不包含降幂单项式的余项q的和.

因为我的算法跟SymmetricReduction的结果不一致。而且以我的使用体验，我的结果更好。

zeroieme

跟变量次序有关的Mathematica SymmetricReduction函数

1. SymmetricReduction[5a^2+b^2,{a,b},{Subscript[s, 1] ,Subscript[s, 2]}]
   
2. SymmetricReduction[5a^2+b^2,{b,a},{Subscript[s, 1] ,Subscript[s, 2]}]
   
3. {SymmetricReduction[5a^2+b^2,{a,b},{Subscript[s, 1] ,Subscript[s, 2]}],
   
4. SymmetricReduction[5a^2+b^2,{b,a},{Subscript[s, 1] ,Subscript[s, 2]}]}//Mean//Simplify

复制代码

究竟哪个才是正确/合理的？

zeroieme

变量多了更麻烦

1. Table[SymmetricReduction[
   
2.   6 a^3 - 3 a^2 b - 9 a b^2 + 10 b^3 - 5 a^2 c - 5 a b c + 10 a c^2 +
   
3.    b c^2 + 5 c^3, \[Sigma], {Subscript[s, 1] , Subscript[s, 2],
   
4.    Subscript[s, 3]}], {\[Sigma], Permutations[{a, b, c}]}]
   
5. Mean[%] // Simplify

复制代码

.·.·.

SymmetricReduction希望对称部分满足f[a,b]=f[b,a]
或者f[a,b,c]=f[a,c,b]之类的
如果要对称部分，你要用Sum[f]/(n!)进行处理
大约就是这样的一个东西：

1. n = 3(*f有3个变量*)
   
2. f[a_, b_, c_] = a*100 + b*10 + c;
   
3. Simplify[Plus @@ f @@@ Permutations[{a, b, c}]/n!]

复制代码

BTW，直接这样调用多好

1. In[24]:= SymmetricReduction[5 a^2 + b^2, {a, b}]
   
2. 
   
3. Out[24]= {-10 a b + 5 (a + b)^2, -4 b^2}

复制代码

zeroieme

.·.·. 发表于 2019-3-7 14:58
SymmetricReduction希望对称部分满足f[a,b]=f
或者f[a,b,c]=f[a,c,b]之类的
如果要对称部分，你要用Sum[f ...

Sum[f]/(n!)就是Mean/期望值，Permutations 已经包含n!了，我想知道的是期望值或者不同求算次序，哪个更“合理”，文献呐文献呐前人工作呐。

直接调用中间分析好看，下一步处理还是要换元的

zeroieme

还有更多的转化算法

.·.·.

zeroieme 发表于 2019-3-7 16:58
Sum[f]/(n!)就是Mean/期望值，Permutations 已经包含n!了，我想知道的是期望值或者不同求算次序，哪个更 ...

我也不知道啊……
你不说“合理”的标准，我自然没办法告诉你什么是“合理”的了
毕竟，很多时候这种问题应该看使用场合的

zeroieme

.·.·. 发表于 2019-3-7 18:27
我也不知道啊……
你不说“合理”的标准，我自然没办法告诉你什么是“合理”的了
毕竟，很多时候这种问 ...

“合理”要下引号，就是我不知道有什么前人订立标准。
本身是对称多项式的转化有唯一结果。对于非对称多项式， 依我看，要相关变量的全排列置换后求平均才是合理的，就是Sum[f]/(n!)。然而那是组合爆炸，有没有一种算法能直接得到这平均值结果呢？

.·.·.

zeroieme 发表于 2019-3-7 19:10
“合理”要下引号，就是我不知道有什么前人订立标准。
本身是对称多项式的转化有唯一结果。对于非对称多 ...

为什么要组合数？
从最高次一次次往下迭代不就好了？
比如a^5+a^5b^3+b^4
首先选一个元素，比如a，将a^x替换成mean(...)^x=sum(...)^x/n!
然后选下一个元素，比如b，这时候，将b^x替换成mean(...)^x=sum(...)^x/n!，而如果这里存在b^x mean(...)^y，替换成mean(ab,...)^min(x,y)*sum(...)^|x-y|/n!
如果还有下一个，继续按照类似的方式进行替换
时间复杂度O(n^2*m)（n个变量，每一个变量出现m次）

zeroieme

.·.·. 发表于 2019-3-8 13:04
为什么要组合数？
从最高次一次次往下迭代不就好了？
比如a^5+a^5b^3+b^4

明白！我昨天说的是最笨的办法！
你能帮忙找文献，有什么人定义过哪个结果合理么？ 觉得有个方向再想算法能避免白费心思。