如何由平面椭圆推断其对应的空间圆

debatrix

假设有一个半径为R的球S，其球心在原点(0,0,0)处。在球面上有一个半径为r的圆C，其在xOy平面上的投影为\(x^2+y^2=r^2 \)，即一个圆心在(0,0)点且半径为r的圆。
现在如果将球绕x轴和y轴旋转一定角度（分别是α、β），圆C在xOy面上的投影会变成一个中心在\((x_e, y_e)\)，长短轴分别为a，b，倾斜角为θ的椭圆。其方程其实只是球S与一个和原点距离为\(\sqrt{R^2-r^2}\)的平面联立并带入\(z=0\)的结果。
（↑这个结论只在u、v不太大的角度下成立，角度大了会变成其他圆锥曲线，不过我实际上关心的是它的逆问题，所以无所谓）

我的问题是，现在已知椭圆E的中心在\((x_e, y_e)\)处，其长短轴分别为a，b，倾斜角为θ，然后知道其对应的球球心在原点半径为R，其对应圆C的半径为r，希望求解圆C的方程，或者旋转角α、β。



配的图方便理解就好，代码中坐标系方向有点奇怪，主要是因为其物理模型是图像处理的问题。

1. clear all;close all;clc;hold all;
   
2. 
   
3. % 右手系 x右 y下 z里
   
4. 
   
5. % 球
   
6. R=24;r=11;a=sqrt(R^2-r^2);
   
7. 
   
8. % 旋转 以正前方为起点 顺时针为正
   
9. alpha=20; % 水平旋转 绕y轴
   
10. beta=15;   % 垂直旋转 绕x轴
    
11. 
    
12. x0 = 0;
    
13. y0 = 0;
    
14. z0 = -a;
    
15. alpha = deg2rad(alpha);
    
16. beta = deg2rad(beta);
    
17. 
    
18. x0 =  x0*cos(alpha) + z0*sin(alpha);
    
19. y0 =  x0*sin(alpha)*sin(beta) + y0*cos(beta) - z0*sin(beta)*cos(alpha);
    
20. z0 = -x0*sin(alpha)*cos(beta) + y0*sin(beta) + z0*cos(beta)*cos(alpha);
    
21. 
    
22. % 平面
    
23. [x,y,z]=meshgrid(-25:1:25);
    
24. f = x0 .* (x - x0) + y0 .* (y - y0) + z0 .* (z - z0);
    
25. 
    
26. % 球
    
27. [u, v]=meshgrid((0:0.02:1)*pi, (-1:0.02:1)*pi);
    
28. xi = R .* sin(u) .* cos(v);
    
29. yi = R .* sin(u) .* sin(v);
    
30. zi = R .* cos(u);
    
31. 
    
32. subplot(1,2,1);
    
33. % patch(isosurface(x,y,z,f,0), 'EdgeColor', 'none', 'FaceColor', 'b', 'FaceAlpha', 0.2);
    
34. surface(xi, yi, zi, 'EdgeColor', 'k', 'FaceColor', 'none', 'EdgeAlpha', 0.3);
    
35. h = contourslice(x, y, z, f, xi, yi, zi,[0,0]);
    
36. line([0 x0],[0 y0],[0 z0], 'Color', 'm', 'LineWidth', 3)
    
37. xx = h.XData;yy = h.YData;zz = h.ZData;
    
38. set(h, 'EdgeColor', 'r', 'LineWidth', 3);
    
39. xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
    
40. axis equal; grid on; box on;axis([-30 30 -30 30 -30 30]);view(3);
    
41. view(0,90);
    
42. subplot(1,2,2);
    
43. mask = isfinite(yy) & isfinite(xx);
    
44. xx=xx(mask);yy=yy(mask);
    
45. plot(xx,yy);
    
46. xlabel('x');ylabel('y');
    
47. axis equal; grid on; box on;axis([-30 30 -30 30]);
    
48. 
    

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zeroieme

长轴即直径，圆心即圆心

mathe

椭圆和圆的面积比确定了椭圆所在平面和xoy平面的夹角，夹角余弦值即面积必。而椭圆长轴方向确定了平面倾向方向。

wayne

这个直接正着来也是可以的。设圆C的参数方程是\(\left(
\begin{array}{c}
r \cos (t) \\
r \sin (t) \\
z \\
\end{array}
\right)\) , 将球绕x轴和y轴旋转一定角度（分别是α、β），代入变换矩阵，得到圆C的新的参数方程是
\[r \left(
\begin{array}{c}
\sin (\alpha ) \sin (\beta ) \sin (t)+\cos (\beta ) \cos (t) \\
\cos (\alpha ) \sin (t) \\
\sin (\alpha ) \cos (\beta ) \sin (t)-\sin (\beta ) \cos (t) \\
\end{array}
\right)+z \left(
\begin{array}{c}
\cos (\alpha ) \sin (\beta ) \\
-\sin (\alpha ) \\
\cos (\alpha ) \cos (\beta ) \\
\end{array}
\right)\]

1. RotationTransform[\[Beta], {0, 1, 0}][RotationTransform[\[Alpha], {1, 0, 0}][{r Cos[t], r Sin[t], z}]]

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