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[求助] 连续抛硬币知道出现反面为止,请问连续出现正面的期望是多少?

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发表于 2019-3-9 18:51:32 | 显示全部楼层 |阅读模式

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从谷歌搜到的这个帖子https://bbs.emath.ac.cn/thread-667-1-1.html进来的
如题,如果继续推广的话,正面的概率为p,连续抛直到出现反面,那么连续出现正面的期望是多少?
一开始猜测是0.5+0.5^2+0.5^3+……,但后来写个程序验证一下,发现约等于0.5/笑哭

补充内容 (2019-3-11 05:32):
我重新检查了一遍我写的程序,发现我加了一半的0在数组中,导致最终的结果除于2了,所以才变成0.5.
总之感谢各位的回复。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-10 11:14:36 来自手机 | 显示全部楼层
$1/(1-p)$

点评

是的,我漏了0次  发表于 2019-3-10 14:34
p/(1-p)?  发表于 2019-3-10 12:36
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发表于 2019-3-10 20:30:47 | 显示全部楼层
你提的问题不太严谨;“连续出现正面的期望是多少?”。期望一般数学上有严格定义,故一般可问:连续出现正面次数的期望是多少?但好像你又不是这个意思。所以我理解你要问的是:连续出现正面的概率是多少?
如果是这样,所求的概率P是:
$$\begin{align*}P=\frac{p^2(1-p)}{1-p}=p^2\end{align*}$$
这是因为2连正面发生概率为p*p*(1-p),3连正面发生概率为p*p*p*(1-p),.....
当p=0.5时,所求的概率P=0.25。
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发表于 2019-3-10 20:54:36 | 显示全部楼层
楼主的意思应该就是指 连续出现正面的个数的期望:  \[\sum_{n=1}^{+\infty} n p^n(1-p) = p(1-p) \sum_{n=1}^{+\infty} n p^{n-1} = p(1-p) \cdot\frac{1}{(1-p)^2} = \frac{p}{1-p}\]
如果是计算抛币次数的期望,那就是:  \[\sum_{n=1}^{+\infty} n p^{n-1}(1-p)  = \frac{1}{1-p}\]

=========
除了上面的期望的定义计算,还有一种计算方式。出现反面的概率是 $1-p$,所以出现反面的抛币次数的期望是$1/{1-p}$次,于是连续正面的个数的期望就是$1/{1-p} - 1 = \frac{p}{1-p}$次

点评

挑的好bug,蛤蛤蛤。连续零次,连续一次,连续两次。。。 ^_^  发表于 2019-3-11 21:57
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 楼主| 发表于 2019-3-11 05:17:25 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2019-3-10 20:54
楼主的意思应该就是指 连续出现正面的个数的期望:  \[\sum_{n=1}^{+\infty} n p^n(1-p) = p(1-p) \sum_{n= ...

是的,感谢您的详细回答!
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