连续抛硬币知道出现反面为止，请问连续出现正面的期望是多少？

enwzcs03861@cha

从谷歌搜到的这个帖子https://bbs.emath.ac.cn/thread-667-1-1.html进来的
如题，如果继续推广的话，正面的概率为p，连续抛直到出现反面，那么连续出现正面的期望是多少？
一开始猜测是0.5+0.5^2+0.5^3+……，但后来写个程序验证一下，发现约等于0.5/笑哭

补充内容 (2019-3-11 05:32):
我重新检查了一遍我写的程序，发现我加了一半的0在数组中，导致最终的结果除于2了，所以才变成0.5.
总之感谢各位的回复。

mathe

$1/(1-p)$

sheng_jianguo

你提的问题不太严谨；“连续出现正面的期望是多少？”。期望一般数学上有严格定义，故一般可问：连续出现正面次数的期望是多少？但好像你又不是这个意思。所以我理解你要问的是：连续出现正面的概率是多少？
如果是这样，所求的概率P是：
$$\begin{align*}P=\frac{p^2(1-p)}{1-p}=p^2\end{align*}$$
这是因为2连正面发生概率为p*p*(1-p),3连正面发生概率为p*p*p*(1-p),.....
当p=0.5时，所求的概率P=0.25。

wayne

楼主的意思应该就是指 连续出现正面的个数的期望：  \[\sum_{n=1}^{+\infty} n p^n(1-p) = p(1-p) \sum_{n=1}^{+\infty} n p^{n-1} = p(1-p) \cdot\frac{1}{(1-p)^2} = \frac{p}{1-p}\]
如果是计算抛币次数的期望，那就是：  \[\sum_{n=1}^{+\infty} n p^{n-1}(1-p)  = \frac{1}{1-p}\]

=========
除了上面的期望的定义计算，还有一种计算方式。出现反面的概率是 $1-p$，所以出现反面的抛币次数的期望是$1/{1-p}$次，于是连续正面的个数的期望就是$1/{1-p} - 1 = \frac{p}{1-p}$次

enwzcs03861@cha

wayne 发表于 2019-3-10 20:54
楼主的意思应该就是指 连续出现正面的个数的期望：  \[\sum_{n=1}^{+\infty} n p^n(1-p) = p(1-p) \sum_{n= ...

是的，感谢您的详细回答！