证明 a.x -b.y=c 的存在性

liangbch

对于给定的正数 a,b,c. a,b远大于c。求证 存在正整数x,y，使得a.x -b.y的值可无限接近于c。

说明：
  当c=0时，容易证明
     a.x -b.y=0
       => a.x=b.y
       => x/y=b/a
  可使用连分数求得b/a的近似值。

mathe

首先，在$b/a$是有理数但是$c/a$不是有理数时，是无法达成目标的。但是对于c和a,b的相对大小则没有要求
实际上我们不凡设$u=b/a,v=c/a$,于是要求找出正整数x,y使得$x~= uy+v $,或者说，找出整数$uy+v$充分接近整数。
由于在u是无理数时，$uy+v$的小数部分在(0,1)稠密，所以必然可以找到y使得$uy+v$任意接近整数。
但是如果u是有理数，那么$uy+v$就不是在(0,1)上稠密的，自然通常就不行了，除非这时v正好和u有特殊关系

liangbch

明白了，谢谢mathe.
若 \(u\) 是有理数， \(u\) 可唯一表示为\(p/q\)的形式, 这里p和q互素。 则，\( u*i\)(i是正整数)的小数部分只有 \(q\)个不同的取值，其中一个是0.0
无理数 可以看作是\(q\)为 无穷大的 \(p/q\),  若u是无理数，\(u*k\)的小数部分取值就有\(q\)个，即无穷个。