把一个素数表达成四个整数的平方和

mathematica

很显然解是存在的,剩下的就是写代码的问题了!

1. (*把素数表达成四个整数的平方和,程序可能有bug*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. (*子函数,根据迭代,输入四个整数,一个素数,得到四个整数,降低四个整数的平方和的大小*)
   
4. fun[xx_,p_]:=Module[{x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4,m,u1,u2,u3,u4},
   
5.     x1=xx[[1]];
   
6.     x2=xx[[2]];
   
7.     x3=xx[[3]];
   
8.     x4=xx[[4]];
   
9.     m=(x1^2+x2^2+x3^2+x4^2)/p;
   
10.     If[m==1,Return[xx]];
    
11.     (*模m后绝对值不超过m/2*)
    
12.     y1=Mod[x1,m];If[y1>m/2,y1=y1-m];
    
13.     y2=Mod[x2,m];If[y2>m/2,y2=y2-m];
    
14.     y3=Mod[x3,m];If[y3>m/2,y3=y3-m];
    
15.     y4=Mod[x4,m];If[y4>m/2,y4=y4-m];
    
16.     u1=x1*y1+x2*y2+x3*y3+x4*y4;
    
17.     u2=x1*y2-x2*y1+x3*y4-x4*y3;
    
18.     u3=x1*y3-x3*y1+x4*y2-x2*y4;
    
19.     u4=x1*y4-x4*y1+x2*y3-x3*y2;
    
20.     u1=Abs[u1/m];
    
21.     u2=Abs[u2/m];
    
22.     u3=Abs[u3/m];
    
23.     u4=Abs[u4/m];
    
24.     Print[{u1,u2,u3,u4,(u1^2+u2^2+u3^2+u4^2)/p}];
    
25.     Return[{u1,u2,u3,u4}]
    
26. ]
    
27. 
    
28. p=NextPrime[10^23];(*被表达成四平方和的素数*)
    
29. x2=1;(*初始值*)
    
30. x3=1;
    
31. x4=0;
    
32. (*一定要找到勒让德符号等于1的,这样才能保证找到x1的值*)
    
33. While[JacobiSymbol[-(x2^2+x3^2+x4^2),p]!=1,x2=x2+1];
    
34. x1=PowerMod[-(x2^2+x3^2+x4^2),1/2,p];(*有限域开平方根得到x1的值*)
    
35. If[x1>p/2,x1=p-x1];
    
36. inp={x1,x2,x3,x4};
    
37. While[Total[inp^2]!=p,inp=fun[inp,p]]
    

复制代码

{2788746277617240794317,6,2,0,77771058009240166637}

{394865994220668595295,216,72,0,1559191533918770845}

{98903462170845390482,54648,18216,0,97818948293798452}

{8599745275310222815,55249128,18416376,0,739556188002205}

{2161938692729107297,642436860384,214145620128,0,46739789111197}

{474232184858022618,29715916977061920,9905305659020640,0,2258773159572}

{101187808261202479,112138741018396488,120697814613208710,9905305659020640,374801473105}

{53114403389536044,8233295348868331,7534650454384885,45043482096771590,49746132366}

{13860512533272035,9638617004223700,11027560405173174,9789878005938350,5024655453}

{2591675315436957,4341372920184228,481874603117950,4823975828516944,490672457}

{2723542341856752,3638553890845146,615354662129160,1880024078389688,245699092}

{582392340938173,2220245268383094,426273512038452,21575504013614,54508445}

{665005506809903,863992044909728,1497280747238039,617229686741905,38115367}

{130539633766375,317393334189096,615342520427249,357150889656893,6239823}

{184572705350540,333038715140273,307244129941609,52359099244759,2421223}

{96469421038424,64955390665857,222487640235921,120679318734440,775898}

{35538833053807,70483726061193,31511638716165,68375085602332,118991}

{52127944064440,29784163746704,2004787993209,10067862862913,37098}

{36676527348765,18345822861400,30754320794154,2633415588868,26345}

{8049488371896,5589046640796,19314117934191,10345682337182,5761}

{5127064237247,11940448524783,6184493916624,5088313701944,2330}

{1883746011250,1902447110777,3864830143676,6260613701254,613}

{832897246917,864132527400,3627566446794,1048960831138,157}

{1461118206527,490990145867,648475205685,896405137663,36}

{232765546049,42313574336,60453717284,200935586858,1}

这个结果告诉我们
\[10^{23}+117=232765546049^2+42313574336^2+60453717284^2+200935586858^2\]

mathematica

有没有把一个整数表达成19个非负立方和的算法呢?
最近研究表达成平方,表达成四平方和,感觉真有意思!

mathematica

问题来了,一个素数,能被表达成多少种四平方和,
如果p=x1^2+x2^2+x3^2+x^4
如果0<=x1<=x2<=x3<=x4
那么有多少种表达呢?
我记得4k+1形素数,只有一种两平方和的表达,那么四平方是啥情况?

hujunhua

mathematica 发表于 2019-3-13 16:44
问题来了,一个素数,能被表达成多少种四平方和,
如果p=x1^2+x2^2+x3^2+x^4
如果0

那你需要去研究一下Hamilton四元数环

mathematica

hujunhua 发表于 2019-3-14 10:24
那你需要去研究一下Hamilton四元数环

有关系吗?
我就好奇多少种,我玩数论就是为了满足自己的好奇心

mathematica

表法数问题
任给一个正整数都是可以表为四个平方数之和。进一步，给定一个正整数，表示成为四个平方数的不同表示法有多少种？这问题已由雅可比给出了解答。
https://baike.baidu.com/item/%E5 ... AE%E9%A2%98/2604471
雅克比的回答在哪里?

mathematica

https://en.wikipedia.org/wiki/La ... heorem#cite_note-10
解数好像在这里
https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_four-square_theorem

mathematica

Randomized algorithms in number theory
这个是谈及算法的理论
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/cpa.3160390713
谁能下载这篇论文传到论坛QQ群里?


https://mathoverflow.net/questio ... um-of-three-squares