求一个几何定理的名字

lsr314

如图。给出证明也行。

mathe

ceva定理:BD*CE*AF=CD*AE*BF
圆幂定理BD*BD'=BF*BF',CD*CD'=CE*CE', AE*AE'=AF*AF'
所以BD*BD'*CE*CE'*AF*AF'=BF*BF'*CD*CD'*AE*AE'
所以得出BD'*CE'*AF'=BF'*CD'*AE'
所以由ceva逆定理即得结论

另外这个题目中，圆换成椭圆也成立

mathe

这个P和K之间不知道是如何对应的

lsr314

也可以叙述成：在平面上任取两个不同的点（不在三角形顶点处），连接两点与三角形顶点的六条直线与三角形三边的六个交点在一条圆锥曲线上。

mathe

一般情况我们可以通过射影变化将BC变换为无穷远直线，结果就可以变换为比较简单的计算题。或者等价于采用三角形ABX的非没标准化的面积坐标。
$A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),P(p_x,p_y,1),Q(q_x,q_y,1)$
$D(p_x,p_y,0),D'(q_x,q_y,0),E(0,p_y,1),E'(0,q_y,1),F(p_x,0,1),F'(q_y,0,1)$
最后判断6点D,D',E,E',F,F'共二次曲线，计算一个行列式即可
\(\begin{vmatrix}p_x^2&p_y^2&0&p_y p_x& 0& 0\\
q_x^2&q_y^2&0&q_yq_x& 0& 0\\
0&p_y^2 &1& 0& 0&p_y\\
0&q_y^2&1& 0& 0&qy\\
p_x^2& 0&1& 0&px&0\\
q_x^2&0&1& 0&q_x&0\end{vmatrix}=0\)

hujunhua

mathe 发表于 2019-3-15 20:31
这个P和K之间不知道是如何对应的

显然是一个对合，不动点是热尔岗点。
垂心与重心对合。但在仿射变换之下，重心保持，垂心泯然。
内心的像不明，直线变成高次曲线。

总之，貌似没什么研究价值。

mathe

你确定？变化在A,B,C这三点应该是不连续的
我记得以前我们将三角形内部一点关于三边做对称点，也得出一个类似的"对合"关系，也是在顶点不连续，不知道两者是否有关联

hujunhua

mathe 发表于 2019-3-17 12:06
你确定？变化在A,B,C这三点应该是不连续的
我记得以前我们将三角形内部一点关于三边做对称点，也得出一个 ...

应该没有什么关系。
选择圆作为其它三点的交成曲线，初看精巧，高观实拙。
正如2#和4#指出的那样，圆换成一般二次曲线也成立。
选择圆，不过是选择了一条特殊的二次曲线，遗憾的是这条特殊曲线在仿射几何中没有位置。
所以基于圆的这种对应，在仿射变换下不能保持不变性，使其蒙尘。

从变换的观点看，选择一个在仿射变换下能够保持的二次曲线来交成三点、构造对应更有价值。
比如，对各边上的那点，取其关于该边中点的对称点，由此构造的对应就有更好的表现。
随便画了一下，这个对应有如下几条性质：
1、三角形内的点仍变换到三角形内
2、过三角形顶点的直线仍变成过该顶点的直线
3、与三角形的边切于两顶点并过三角形中心的椭圆为一条不变曲线。（下午补图，待续）

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关于本贴构造的变换已经于主题有所脱离，恐楼主介意我歪楼, 打算另开一个主题贴。

lsr314

没法看

mathe

我来给胡子补充一个图，其中三角形ABC中先给定一条过边AB上点D的定直线（图中灰色的直线）
在此直线上取动点F,并且连接F和各顶点交对边于G,H,I.分别取G,H,I在对应变上对称点M,N,O,那么AN,BM,CO共点P,
而P点轨迹显然是一条双曲线，这个可以称之为胡子双曲线。
如下图，可以看出如胡子所言，当D点移动到顶点A时，胡子双曲线退化为两条直线，对边BC和过A点的另外一条直线,此直线和灰线在BC上交点对称