两个三角函数等式

zyhlcj

在研究某个问题过程中发现了两个三角函数等式，见下图，如果不知道等号右边的式子，很难从等号左边的式子推算到等号右边的式子。大家看一下，如果不用倒推，如何证明等式成立？

wayne

目测跟三角形内心的坐标 有关

zyhlcj

wayne 发表于 2019-3-17 18:18
目测跟三角形内心的坐标 有关

眼力很好！

mathe

$\alpha,\beta,\gamma$的大小关系可以去除。在公式中用$\beta+2\pi$替换$\beta$可以变化为更加对称的公式。
但是这个好像不是内心，而是交平分线和外接圆交点构成三角形的重心公式。

wayne

在圆$x^2+y^2=1$上逆时针依次取三个点，分别是$A(cos\alpha,sin\alpha),B(cos\beta,sin\beta), C(cos\gamma,sin\gamma)$, 那么$\angleA=\frac{\gamma-\beta}{2}, \angleB=\frac{\gamma-\alpha}{2},\angleC=\frac{\beta-\alpha}{2}$,于是两个公式刚好分别是 内心坐标.

外心的坐标就是圆心，$O(0,0,0)$,  内心的坐标 的计算好像有一个向量公式一步到位的，忘了，先占坑，有时间再补 $\vec{OI} $

不过，根据 目标表达式，好像跟 三个中垂线与外接圆的交点的坐标有关。

参考链接： https://en.wikipedia.org/wiki/In ... rcles_of_a_triangle

zyhlcj

等号左边的确是内心坐标表达式，等号右边是三边垂直平分线与外接圆交点的坐标之和。以外心为起点，内心的向量就等于三边垂直平分线与外接圆交点的向量之和。如果不用这种方法，用积化和差、和差化积等三角函数运算方法是很难证明等式成立的。

wayne

zyhlcj 发表于 2019-3-18 15:43
等号左边的确是内心坐标表达式，等号右边是三边垂直平分线与外接圆交点的坐标之和。以外心为起点，内心的向 ...

可以完全不用三角函数的运算，只需欧拉公式，两个目标式子合并一下，就是要证明这个恒等式：
\[e^{i (a+b-c)} \sin (b-a)+e^{i (a-b+c)} \sin (c-a)+e^{i (-a+b+c)} \sin (b-c)  = \left(e^{i a}+e^{i b}-e^{i c}\right) (\sin (b-a)+\sin (c-a)+\sin (b-c)) \]
而这个式子的证明应该比较简单，只需要将 $2 i sinx=e^{ix}-e^{-ix}$代入上面的式子，于是就是纯粹的多项式因式分解了。
\[e^{i (a+b-c)} (e^{i(b-a)}-e^{-i(b-a)})+e^{i (a-b+c)} (e^{i(c-a)}-e^{-i(c-a)})+e^{i (-a+b+c)} (e^{i(b-c)}-e^{-i(b-c)})  = \left(e^{i a}+e^{i b}-e^{i c}\right) (e^{i(b-a)}-e^{-i(b-a)} + e^{i(c-a)}-e^{-i(c-a)} + e^{i(b-c)}-e^{-i(b-c)}) \]
这个直接展开就行，略过不说。
得证后，令该等式的实部与虚部分别为0:，于是两个目标式子同时得证：

\[\frac{\sin (b-a) \cos (a+b-c)+\sin (c-a) \cos (a-b+c)+\sin (b-c) \cos (-a+b+c)}{\sin (b-a)+\sin (c-a)+\sin (b-c)} = \cos (a)+\cos (b)-\cos (c)\]
\[\frac{\sin (b-a) \sin (a+b-c)+\sin (c-a) \sin (a-b+c)+\sin (b-c) \sin (-a+b+c)}{\sin (c-a)+\sin (b-c)+\sin (b-a)} = \sin (a)+\sin (b)-\sin (c) \]

mathe

三边中垂线和外接圆交点就是角平方线和外接圆的交点。这三点坐标和等于内心坐标有点让我意外

mathe

如图，三角形ABC中，假设外接圆为单位圆，所以圆心O就是原点。设A,B,C三点在复平面上幅角分别为$\alpha,\beta,\gamma$
那么做三个角的角平分线，和外接圆交点D,E,F的幅角分别为${\beta+\gamma}/2,{\gamma+\alpha}/2,{\alpha+\beta}/2$
于是外心I就是三角形DEF的垂心。
6#表示$D+E+F=I$,这个结果挺神奇。
由于I是三角形DEF的垂心，所以IF垂直DE,表示成向量形式为
\((\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OE}).(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OI})=0\)
同理还有
\((\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}).(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OI})=0\)
的的确确将\(\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}\)
代入上面俩方程，直接利用平方差公式，第一式左边变成\(-|\overrightarrow{OD}|^2+|\overrightarrow{OE}|^2=0\)。
由于上面关于\(\overrightarrow{OI}\)俩方程的解唯一，所以就证明了$D+E+F=I$,或者说，以外心为原点，三角形垂心向量是三个顶点向量之和