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[分享] 在模p的既约剩余系中,阶为d的元素的个数恰好有phi(d)个

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发表于 2019-3-23 11:41:56 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 mathematica 于 2019-3-24 10:18 编辑

模p的既约剩余系显然是一个群,
这个群中的d阶的元素的个数,恰好等于欧拉函数d个,
以前看数论书的时候没注意这个结论,现在注意到了,
分享一下!
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. n=NextPrime[96];
  3. Print[n];(*打印出这个数*)
  4. aa=Select[Range[n],GCD[n,#]==1&];(*选择既约剩余系*)
  5. bb=MultiplicativeOrder[#,n]&/@aa;(*计算既约剩余系中的阶*)
  6. bb=Sort[bb];(*排序*)
  7. cc=Tally[bb];(*统计各个阶的个数*)
  8. (*第一列阶,第二列阶的个数,第三列阶的欧拉函数*)
  9. dd=Append[#,EulerPhi[#[[1]]]]&/@cc;
  10. Grid[dd]
复制代码


输出结果

1        1        1
2        1        1
3        2        2
4        2        2
6        2        2
8        4        4
12        4        4
16        8        8
24        8        8
32        16        16
48        16        16
96        32        32


第一列是阶d, 第二列是阶的个数,第三列是阶的欧拉函数phid

根据我的计算结果,似乎只要有原根,那么就相等,而不一定非要是素数

这个结论很美,所以我就发出来,共享给大家!
所有的4k+1素数都能唯一表达成两个正整数的平方米,这个结论也很美!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-23 11:58:03 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. n=11*37;
  3. Print[n];(*打印出这个数*)
  4. aa=Select[Range[n],GCD[n,#]==1&];(*选择既约剩余系*)
  5. bb=MultiplicativeOrder[#,n]&/@aa;(*计算既约剩余系中的阶*)
  6. bb=Sort[bb];(*排序*)
  7. cc=Tally[bb];(*统计各个阶的个数*)
  8. (*第一列阶,第二列阶的个数,第三列阶的欧拉函数*)
  9. dd=Append[#,EulerPhi[#[[1]]]]&/@cc;
  10. Grid[dd]
复制代码


输出结果
  1. 1        1        1
  2. 2        3        1
  3. 3        2        2
  4. 4        4        2
  5. 5        4        4
  6. 6        6        2
  7. 9        6        6
  8. 10        12        4
  9. 12        8        4
  10. 15        8        8
  11. 18        18        6
  12. 20        16        8
  13. 30        24        8
  14. 36        24        12
  15. 45        24        24
  16. 60        32        16
  17. 90        72        24
  18. 180        96        48

复制代码

假设d阶元素有m个,那么从上面的结果能得出结果m一定是phi(d)的倍数吗?
其中phi(d)是d的欧拉函数,
我不知道如何证明!

点评

我听说过有个处理循环群的凯莱定理——就是不知道这玩意是啥以及该怎么用  发表于 2019-3-25 15:09
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-23 14:58:56 来自手机 | 显示全部楼层
只要是有限交换群都可以

点评

我觉得这个结论很美,所以我发出来共享给大家  发表于 2019-3-24 09:32
我在二楼的回答看了吗  发表于 2019-3-23 16:00
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-23 19:22:43 | 显示全部楼层
问题的答案就在你的那个书上就有
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-23 19:24:00 | 显示全部楼层
math_humanbeing 发表于 2019-3-23 19:22
问题的答案就在你的那个书上就有

翻到p238
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-23 19:28:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 math_humanbeing 于 2019-3-23 19:42 编辑

既约剩余系中的元素的阶整除的模的欧拉函数
见性质7
见p254
性质4
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-3-24 09:27:41 | 显示全部楼层

你说的是啥书?我的是潘承洞的初等数论第三版,没你说的东西呀
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-3-24 09:59:19 来自手机 | 显示全部楼层
见下图

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点评

国外的书新,也容易理解  发表于 2019-3-24 10:25
这书没国外的初等数论及其应用这本书好  发表于 2019-3-24 10:25
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 楼主| 发表于 2019-3-24 10:12:55 | 显示全部楼层

我说的是模为5*3这样的整数的时候,
是不是d阶元的个数是phi(d)的倍数呢?
我问的是这个问题
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发表于 2019-3-24 10:30:58 来自手机 | 显示全部楼层
取决于你的模剩余系里面有没有原根
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