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楼主: mathematica

[分享] 在模p的既约剩余系中,阶为d的元素的个数恰好有phi(d)个

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 楼主| 发表于 2019-3-24 11:45:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2019-3-24 11:46 编辑

假设m有原根,
那么既约剩余系模m余-1
否则的话模+1
这个结论也挺好的

有原根,那么就是循环群,

有原根的话,d阶元的个数就是phi(d)个,(数值计算表明结果是正确的,但是不知道真假)

这三个结论都很有意思!!!!!!!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-24 13:14:58 | 显示全部楼层
这些都是数论中很基本很简单的性质,不是很难。
比如我们可以先证明有原根的情况,使用群论描述就是
i) m阶循环群<g>中,次数为m的元素正好有phi(m)个。这个很显然,所有m次的元素构成的集合就是${g^k| 1\le k\lt m 且(k,m)=1}$,根据phi(.)的定义就知道这个集合元素数目为phi(m)
ii) m阶循环群<g>中,次数为d的元素正好有phi(d)个。这个很显然,我们换成在子群$\lt g^{m/d}\gt$中考虑就退化为问题i)了。
那么如果考虑没有原根的情况,问题就是
iii)有限交换群G中,次数为d的元素数目正好是phi(d)的倍数。
如果不存在次数为d的元素,那么数目0是phi(d)的倍数,满足要求。
不然对于G中任意次数正好为d的元素x,定义$T_x={x^k| 1\le k\lt d, (k,d)=1}$,于是$|T_x|=\varphi(d)$
现在我们只要证明对于G中任意两个次数为d的元素x,y,那么$T_x$和$T_y$要么互不相交,要么相等即可。
我们假设$x^u = y^v$而且$(u,d)=1,(v,d)=1$,于是存在w使得$uw -=1(mod d)$,于是我们得出$x = x^{uw} =y^{vw}$,而且由于$(v,d)=1,(w,d)=1$,所以$(vw,d)=1$,所以得出$x \in T_y$, 同样对于任意$h$使得$(h,d)=1$,我们有$x^h = y^{uwh} \in T_y$,所以$T_x$是$T_y$的子集。同样$T_y$是$T_x$子集,所以两者相等。
所以根据上面的性质我们就得出结论iii)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-24 13:43:55 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-3-24 13:14
这些都是数论中很基本很简单的性质,不是很难。
比如我们可以先证明有原根的情况,使用群论描述就是
i) m ...

模是m,元素个数是phi(m), 元素的阶是d, d是phi(m)的约数,
d阶元的个数的phi(d)个

这是m有原根的情况下的情况

点评

是啊,这就是我说的i)和ii)。有原根,就是对应的群是循环群<g>  发表于 2019-3-24 13:56
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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