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[讨论] 关于四连通和八连通的平衡点的探讨

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发表于 2019-3-28 06:15:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如果为n*m的矩形网格里的每个格子随机染色,以p的概率染黑,1-p的概率染白,那么当m趋于正无穷大的时候:

黑色格子以四连通的方式连接矩形的两个短边的概率是个无穷小量b(m);并且m每增加1,这个概率都会继续损掉一个固定的比例,我们把这个固定的比例b(m+1)/b(m)记为L4。

白色格子以八连通的方式连接矩形的两个短边的概率也是个无穷小量w(m);并且m每增加1,这个概率也会继续损掉一个固定的比例,我们把这个固定的比例w(m+1)/w(m)记为L8。

问:当p取何值时,我们会得到L4=L8?

答:当n=1时,p取0.5即可。当n比较大时,情况比较复杂,期待高手的解答。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-28 12:15:15 | 显示全部楼层
感觉像是一个复杂无比的递推公式
算一下n=2好了
首先对n=2,称“两格四联通”指的是,矩阵4联通且最右侧两格同色

那末,记2*m矩阵四联通的概率为p4(m),“两格四联通”的概率为p42(m)
我们有
p4(m)=(p4(m-1)-p42(m-1))*p+(p42(m-1))*(1-(1-p)^2)
p42(m)=p4(m-1)*p^2
利用这两个递推式,我们可以得到n=2时候4联通的概率
同时,n=2时候,L8=(1-p^2)
这样可以算出n=2时候的情况
n=3甚至更往后或许会复杂许多……或许不会,或许甚至n=3,4,5,6是可以用递归来计算L*的取值的,不过我是干不动了
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发表于 2019-3-29 11:49:57 | 显示全部楼层
n=2时,应该$2*p^3 + 2*p^2 - 1=0,p=0.56519771738363939643752801324703081610$
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 楼主| 发表于 2019-5-9 16:54:04 | 显示全部楼层
  1. n p(n)
  2. 1 0.5
  3. 2 0.5651977173836394
  4. 3 0.5772781661029975
  5. 4 0.5828111821286043
  6. 5 0.5857338195183535
  7. 6 0.5874892035462697
  8. 7 0.5886354046253088
  9. 8 0.5894298554726216
复制代码

未完待续……
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发表于 2019-5-9 18:47:45 | 显示全部楼层

看见0.5772的时候一度以为你想写
0.5772156649015328
……

点评

竞赛时候认识一个金牌大神,毕生志向(之一)是证明欧拉常数是一个“有规律”的数字……至于爱好VASC不等式什么的……我至今没弄明白  发表于 2019-5-9 20:46
对欧拉常数 这么敏感~  发表于 2019-5-9 18:56
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