随机三角形的面积

mathe

KeyTo9のFans 在百度数学吧里面提出:

在以下图形的内部随机取三个点作为一个三角形的顶点，求这个三角形的面积的期望值。
在图形内部各处取点的概率是分布均匀的。

(1)边长为1的正方形
(2)边长为1的正三角形
(3)半径为1的圆

mathe

对任意凸区域D,假设其面积为S
对于任意一个方向$theta$,区域D在其垂直方向投影长度为$T(theta)$
我们可以将所有方向为$theta$的同区域D相交的直线用参数y表示其中$0<=y<=T(theta)$,记为直线$L(theta,y)$
假设直线$L(theta,y)$同D相交部分长度为$U(theta,y)$,它将区域D分成两部分,面积分布为$S_1(theta,y)$,$S_2(theta,y)$
两部分重心到$L(theta,y)$的距离分别为$H_1(theta,y)$,$H_2(theta,y)$
那么我推导的结果是最后三角形面积的期望为
$1/{12S^3}\int_0^{pi}d\theta\int_0^{T(\theta)}(S_1(\theta,y)*H_1(\theta,y)+S_2(\theta,y)*H_2(\theta,y))*U^4(\theta,y)dy$

数学星空

这应该属于积分几何的内容吧..

zgg___

这使我联想起ibm ponder this的一道题。
http://domino.research.ibm.com/C ... es/October2006.html

无心人

呵呵，模拟一下么
正方形的好模拟

谁有兴趣
估计1000个点能得到很好的近似了吧？

无心人

1. // ra.cpp : Defines the entry point for the console application.
   
2. //
   
3. 
   
4. #include "stdafx.h"
   
5. #include <math.h>
   
6. #include <time.h>
   
7. #include <stdlib.h>
   
8. 
   
9. struct {double x, y;} a, b, c;
   
10. 
    
11. double area(void)
    
12. {
    
13.         return ( (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y) )/2.0;
    
14. }
    
15. 
    
16. #define RAND ((double)rand() / (double)RAND_MAX)
    
17. 
    
18. int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
    
19. {
    
20.         int i;
    
21.         double s = 0.0;
    
22. 
    
23.         srand((unsigned)time(NULL));
    
24. 
    
25.         for (i = 0; i < 10000; i ++)
    
26.         {
    
27.        a.x = RAND;
    
28.            a.y = RAND;
    
29.            b.x = RAND;
    
30.            b.y = RAND;
    
31.            c.x = RAND;
    
32.            c.y = RAND;
    
33.            s += abs(area());
    
34.         }
    
35. 
    
36.         printf("随机值 = %.8f", s /10000.0);
    
37. 
    
38.         return 0;
    
39. }

复制代码

随机值 = 0.07646080

无心人

随机值 = 0.07694249
随机值 = 0.07645819
随机值 = 0.07722303

无心人

加大到1000000次

随机值 = 0.07644364
随机值 = 0.07643060
随机值 = 0.07645995

无心人

半径为1的圆预期应该比边长为1的正方形大

无心人

现在看来，有个好的随机函数库是很重要的
谁推荐个