无穷简史

数学星空

科学史上的诸多事实都显示了无穷概念的巨大重要性和深远影响。正如数学史家M·克莱因所说：“数学史上最使人惊奇的事实之一是实数系的逻辑基础竟迟至十九世纪后叶才建立起来。”而这明显是由于人们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的。另一方面，我们认为这些困难也正阻碍人们对本世纪二十年代所发现的最惊心动魄的微观物质理论——量子力学的深刻本质的认识，本节我们主要回顾一下人们对无穷概念的认识和应用历史，以从中寻找到有益的启示。 　　自古希腊时期以来，无穷的概念就引起了哲学家和数学家的注意，但它的看来是矛盾的性质使得对它的理解进展十分缓慢。数学家毕达哥拉斯(BC580--BC497)最早用他的著名定理发现了新型数——无理数，或者说某些长度的不可通约性，但为了避免直线无限可分中讨厌的无穷概念，而将这一伟大发现密而不宣。 　　爱利亚学派的芝诺(BC490--BC430)第一个研究了运动中存在的无穷悖论，他在“二分法”悖论和“阿基里斯”悖论中，以人们对无穷理解的困难批驳直线的无限可分性，进而巧妙地证明了运动的不可能性这一明显不符合客观事实的结论。这些悖论从另一方面引起了人们的兴趣和注意，加深了人们对运动和无穷概念的理解。 　　柏拉图学园的数学家欧多克斯(BC408--BC355)为了避免了无穷小的困难，提出用穷竭法求面积，并用以他命名的原理来代替无穷的极限理论，从另一方面给出实现极限过程的方法。亚力山大里亚学派的大数学家欧几里德在他著名的《几何原本》第十卷中也系统地提出了此方法以避免无穷小的困难。 　　大哲学家亚里士多德(BC384--BC322)考虑过无穷的问题，但他从不承认一个无穷的集合可以作为一个固定的整体存在，对他来说，这样的集合只是潜在无穷。 　　一直被认为是古代最伟大的科学家阿基米德(BC287--BC212)也用归谬法去避免无限小量的概念，尽管他预见了极微分割的概念。 　　物理学家伽利略(1564--1642)也与无穷集合做过斗争，并认为它们不可理喻而放弃了。在《两门新科学》中他注意到两个不等长的线段AB与CD上的点可以构成一一对应，从而可以想象它们含有同样多的点。他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要把每一个正整数和它的平方对应起来就行了，但这导致无穷大的不同“数量级”，伽利略认为这是不可能的，并认为所有无穷大量都一样，不能比较大小。 　　天文学家开普勒(1571--1630)在《新测定酒桶体积法》一书中曾引入无穷大与无穷小的概念，以代替穷竭法。尽管人们对这些观点感到头痛，然而由于开普勒用日常的语言引入这些观念，使得它们可以为大家所接受。开普勒采用这些观点得出了一些前人很难得到的结果，尽管他的观点中缺少关于极限的明确概念，也缺少有效的求和方法。 　　卡佛来利(1598--1647)进一步发展了开普勒的方法，在《新发展的极微分割几何》一书的第二部分中，他假定一条线可以看成是无数点的集合。这本著作尽管有缺点，但还是鼓舞了许多科学家，使他们能以比较客观的态度对待无穷小量的概念，并导致人们开始以更抽象的方式来研究无穷小的问题。 　　罗伯佛尔(1600--1675)和帕斯卡(1623--1662)摆脱了卡佛来利的缺点，认为一条线不是由点构成，而是由无数根短线构成。英国的约翰·华里斯(1616--1703)在《无穷算术》一书中采用了无穷小量的学说。 　　无穷小量的研究鼓舞了许多数学家去研究图形求面积的问题。例如，法国的数学家费尔玛(1601--1665)发现了几种求积方法，由于考虑无穷小量他得出了确定函数极大值与极小值的方法，此方法相当于令函数的导数为零，这是无穷小量有效应用的一个范例。 　　费尔玛和笛卡儿(1596--1650)发明的解析几何加速了对无穷小量应用的研究，进而也加速了微积分的成熟，人们已开始用无穷小量来作曲线的切线，这些人有费尔玛、笛卡儿和巴罗，甚至有人认为巴罗是无穷小量分析的第一个发明人，但只有牛顿使无穷小的分析达到登峰造极的地步，最终发明了分析的工具——微积分。 　　牛顿(1642--1727)在《流数术》一书中改变了变量是由无穷小元素组成的看法，而是从运动学的观点来研究问题，这也许是运动中无穷小分析的起源。他说：“这里，流数术赖以建立的主要原理，乃是源自理论力学中的一个非常简单的原理。这就是数学量，特别是外延量，都可以看作是由连续轨道运动产生的，而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的，至少经过类比和调整之后可以如此。因此，在产生这些具有固定的可确定的关系的量时，其相对速度会有所增减，因而如何去求它们也就可以作为一个问题提出。这里，本人是据另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以（至少在理论上说）使之连续减小，直至它完全消失，达到了可以称之为零量的程度，或者说它们是无限的小，比任何一个指定的量都小。”这里，牛顿认为线的画出是由于点的连续运动，他把一个产生中的量称之为流量，其生长率叫流量的流数，一个无限小的时间间隔叫瞬，在这无限小时间间隔内流量增加的无穷小部分叫流量的瞬。于是牛顿成功地建立起无穷小的分析数学——微积分。 　　尽管牛顿利用无穷小建立了他的新理论，他却从未对此心安理得。他曾在一本著作《曲线求积法》中试图消除所有关于无穷小的痕迹，从而建立起他的没有无穷小的微积分。正如他写道：“现在照这样用有限量来制定一种分析学，并研究这些有限量在新生成渐近于零的情况下的基本比和最终比，是与古代的几何学一致的……我还乐意指出，在流数术中没有必要把无穷小的数学引入几何学中来。”但他又写道：“有人反对说，趋近于零的量的最终比是不存在的，因为在这些量还没有趋近于零的时候，比值并不是最终的；而当它们等于零的时候，又什么都没有了。……但回答是不难的……，这里有一个极限，它是在运动终了时所能达到但不能超越的速度。”这说明他已经注意到无穷极限的概念，但牛顿不能明确定义他的比，他并没有把他的微积分建立在稳固的基础上。 　　当然，与牛顿同时代的莱布尼兹(1646--1716)独立地发现了微积分理论，并且他又是现代微积分通用符号的创始者，但是他和牛顿一样对他理论中的无穷小量解释不清，甚至比牛顿更不注意严格的逻辑性和严密性。牛顿和莱布尼兹谁也没有把无穷小这个基本概念弄明白，即怎样越过从有限到无穷小量的鸿沟。另外，尽管莱布尼兹经常否定绝对无穷，但在一些场合却指出实无穷和绝对无穷的重要区别，这给后来的康托以极大的启示。 　　第一个试图给予微积分中的无穷小分析以严密性的是十八世纪第一流的数学家拉格朗日(1736--1813)，他抛弃了牛顿的极限说，而从泰勒的定理出发，决定只用代数方法，但由于对级数的收敛性注意不够，他的探索没有成功。 　　波尔查诺(1781--1848)第一个把f(x)的导数定义为当Δx经由负值和正值趋于零时，比[f(x+Δx)-f(x)]/Δx无限接近地趋向的量f'(x)，他强调f'(x)不是两个零之商，也不是两个消失的量的比，而是前面指出的比所趋近的一个数。波尔查诺在他的《无穷悖论》一书中显示了他是第一个采取积极步骤的人，他维护了实无穷集合的存在，并且强调了两个集合等价的概念，这就是后来叫做两个集合元素之间的一一对应关系，这个等价的概念适用于有限集合，也适用于无限集合。他注意到无穷集合中部分或子集可以等价于整体的情况，并且坚持这个事实必须接受，对于无穷集合同样可以指定一个数叫超限数，使不同的无穷集合有不同的超限数，但他认为对于超限数无需计算，所以不用深入研究它们。波尔查诺对于无穷的研究，其哲学意义比数学意义更多，虽然他没有充分弄清后来称之为集合的势或基数的概念，但他给后来康托的超穷集合论奠定了基础。 　　柯西(1789--1857)对数学发展最伟大的贡献就在于他对这门学科采用了清楚严谨的论述方式，他专心致志于为微积分中关于无穷小应用的基本原理奠定牢固的基础，以至于被认为是新思想家之首。柯西以正确的方法建立了极限和连续性的严格理论，正是柯西在他的杰出著作《代数分析教程》和《无穷小分析教程概论》中引进了极限和连续性等根本性概念，尽管他只用了诸如“无限趋近”、“一个变量趋于它的极限”之类的话。他在《教程》中说，“当一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有其它值的极限。”柯西在其《教程》的序言中指出，当说及函数的连续性时，必须说明无穷小量的主要性质，即“当一个变量的数值这样无限地减小，使之收敛到极限零，那么人们就说这个变量为无穷小。”这样，柯西就澄清了令前人迷惑的无穷小概念，而且把无穷小的概念从行而上学的束缚中解放出来。柯西继续说，“当变量的数值这样地无限增大，使该变量收敛到极限无穷大，那么该变量就成为无穷大。”有了这些概念，柯西便可以给出函数连续性的概念，他在《教程》中说，设f(x)是x的一个函数，并设对介于给定两个限之间的x值，这个函数总取一个有限且唯一的值。如果在这两限之间，变量的一个无穷小增量总产生函数自身的一个无穷小增量，那么函数f(x)在给定限之间对于x保持连续。柯西的以上概念和定义对人们理解经典连续运动中的无穷小和连续性是有很大帮助的，而且在描述的严格性上大大前进了一步，因此也就更加能够使人们接近运动的内在本质。另外，柯西认为无穷大不意味一个固定的量，而只是一个无限变大的量。柯西并不承认无穷数目的集合的存在，因为部分同整体构成一一对应这件事在他看来是矛盾的。 　　魏尔斯特拉斯(1815--1897)进一步将极限和连续性概念加以严密和抽象化。他力求避免例如一个变量趋于一个极限的直观说法，而把分析完全建立在算术基础上。他认为，一个连续变量是这样一个变量，如果x0是该变量值集合中的任一值，而δ是任意正数，则一定有变量的其他值在(x0-δ，x0+δ)中，而且他给出了现今连续性和极限的定义，即如果给定任何一个正数δ都存在一个正数ε，使得对于区间|x-x0|<ε内的所有x都有|f(x)-f(x0)|<δ，则f(x)于x=x0处连续，如果用L代替f(x0)，则说f(x)在x=x0处存在极限L。 　　康托(1845--1918)于二十九岁时在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章，他称集合为一些确定的不同东西的总体，这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他说，那些认为只有潜无穷集合的人是错的，并且驳斥了数学家们和哲学家们反对实无穷集合的早期论点。对康托来说，如果一个集合能和它的部分构成一一对应，它就是无穷的，他说：“正象每个特例所表明的那样，我们可以从更一般的角度引出这样的结论：所有反对实无穷可能性的所谓证明都是站不住脚的，他们一开始就期望无穷数具有有穷数的所有特性，或者甚至把有穷数的性质强加到无穷数上。与此相反，如果我们能以任何方式理解无穷数的话，倒是由于它们构成了全新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物本身的性质，这是研究的对象，而并不从属于我们的主观臆想和偏见。” 　　康托认为必须不含任何武断和偏见地去研究实无穷，他确信用抽象的数学语言及具体的物理语言所表明的物质的性质都确证了超穷数的存在性。在他看来，正象有穷数借助有穷多个对象的真实集合获得了客观存在性一样，对超穷数也可以引出同样的结论，因为它们也是从无穷多个对象的真实集合中抽象出来的，具体地说，超穷数的实在性在物理世界中的物质、空间及具体对象的无穷性中有着自然的反映，从而我们应该肯定超穷数的客观实在性。康托还从另一个角度论证超穷数的客观存在性，利用有穷主义承认的论断“对任意大数N，都存在一个数n>N"，他指出，这实际上就假设了所有这样的n的存在，它们构成了可称之为超穷的一个完成了的总体。 　　康托后来把超穷数看成是借助于抽象从实无穷集合的存在中自然地产生出来的，他指出，超穷数与有穷无理数是同舟共济的，两者的基本性质是相似的，因为前者和后者一样也是实无穷的确定表达形式。但是，由于康托强调新数内在的和观念上的相容性这一形式主义观点，他明确地表达了对无穷小理论的反对，因为他认为小于任意小的有穷数的非线性零数是不存在的。 　　总之，康托认为无论就有穷数和无穷数而言，在本质上都可以从两种角度去进行分析：一是所谓的内在的真实性，或固有的真实性，即是指在思想中可明确定义，从而与思维的其他成分可明确区分的真实性；二是所谓的外部的真实性，即是指其在物理世界的对象中和过程中的具体体现。 　　康托提出他的超穷集合论后，许多人都提出了不同的反对意见，而且他自己也发现了他建立的超穷集合论中所出现的令人不愉快的悖论，这一切都导致了二十世纪初期关于数学基础的深入研究和理解。人们以各自不同的方法来避免或解决这些讨厌的困难，而困难的根源又正是在于无穷集合和无限过程中所用到的无穷。于是在数学家中分化出几大派别，以Zermelo为首的公理化学派认为公理化可以澄清悖论；以Frege、Russell和Whitehead为首的逻辑派认为数学可以从逻辑推导出来；以Kronecker、Brouwer为首的直观派更相信直观和构造性的证明；以Hilbert为首的形式派主张逻辑必须和数学同时加以研究，数学本身就是一堆形式系统，数学中研究的对象就是符号本身，符号就是本质，它们并不代表理想的物理对象。这些学派对无穷的看法是不同的，公理化学派承认无穷集合的存在，并且提出了著名的引起广泛争议的选择公理。不久，哥德尔的不完全性定理产生了新的实质性进展，此定理的一个含义是不仅数学的全部，甚至是任何一个有意义的分支也不能用一个公理系统概括起来，因为任何这样的公理系统都是不完备的。可以说哥德尔的结果给了公理化方法一个致命的打击，因为他指出了公理化方法令人震惊的缺陷。 　　罗宾逊(Robinson)于二十世纪六十年代提出了一种称为非标准分析的理论，在这一理论中无穷小被定义为一个数[注]，它大于零，小于任何正数。尽管罗宾逊的理论没有得到更多新的结果，但它无疑加深了我们对无穷小的认识。 　　关于无穷人们还一直在探索，这些探索将大大加深我们对无穷的理解，也将加深我们对运动本身的理解。 　　[注]泊松(1781--1840)在此之前已提出小于任何给定的无论多小的正数的非零正数是存在的。 本文转自诺贝尔学术资源网 http://www.i-nobel.com/bbs,☆文献互助、学术交流和学术资源