如何计算该多项式集的多项式理想

葡萄糖

染成红色的部分就是该多项式集\(\,\{u^3+v^3,u^4+v^4,u^5+v^5\}\,\)的“多项式理想”
\begin{gather*}
\color{black}{
\begin{cases}   
\begin{split}      
x&=&\,&\color{blue}{u^3+v^3}\\        
y&=&\,&\color{gold}{u^4+v^4}\\     
z&=&\,&\color{silver}{u^5+v^5}     
\end{split}
\end{cases}}\\
\,\\
\Downarrow\\
\,\\
\color{red}{x^{10}-5x^6y^3-25x^2y^6+60x^3y^4z
-30x^4y^2z^2+18y^5z^2+4x^5z^3
-40xy^3z^3 + 15x^2yz^4+2z^6=0}\,
\end{gather*}
用MMA可以求解，可是如何“手工”算出该“多项式理想”呢？MMA的求解代码如下

1. eq1 = u^3 + v^3 - a;
   
2. eq2 = u^4 + v^4 - b;
   
3. eq3 = u^5 + v^5 - c;
   
4. GroebnerBasis[{eq1, eq2, eq3}, {a, b, c}, {u, v}]

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lsr314

固定$k$，将满足$3r+4t+5r=k$的所有单项式$x^ry^tz^r$表示成$u,v$的多项式,如果存在线性相关，那么就找到了。