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[原创] 曲面面积计算

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发表于 2019-5-9 08:33:02 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一木棍长8cm,以一端为中心,到木棍中点距离为棍长的一半为半径,2端点只可沿x,y轴移动,旋转木棍形成的曲面,求图形面积

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-9 11:19:59 | 显示全部楼层
由于图形对称,故只需考虑第一象限。设杆长为 `a`,杆与水平面夹角为 `\theta\,(0\leqslant \theta \leqslant \pi/2)`,于是第一象限图形面积相当于关于参数 `\theta` 的动直线所形成的包络线与坐标轴围成的面积。
动直线方程为 `x\tan \theta+y-a\sin \theta=0`,故包络线方程为\[\begin{cases}x=a\cos^3\theta\\y=a\sin^3\theta
\end{cases}\]因此第一象限中围成的面积为\[\int_0^ay\dif x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}3a^2\sin^4\theta\cos^2\theta\dif \theta=\frac{3\pi}{32}a^2\]因此,整个图形面积为 `\D\frac{3\pi}{8}a^2`
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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