曲面面积计算

markfang2050

一木棍长8cm，以一端为中心，到木棍中点距离为棍长的一半为半径，2端点只可沿x,y轴移动，旋转木棍形成的曲面，求图形面积

kastin

由于图形对称，故只需考虑第一象限。设杆长为 `a`，杆与水平面夹角为 `\theta\,(0\leqslant \theta \leqslant \pi/2)`，于是第一象限图形面积相当于关于参数 `\theta` 的动直线所形成的包络线与坐标轴围成的面积。
动直线方程为 `x\tan \theta+y-a\sin \theta=0`，故包络线方程为\[\begin{cases}x=a\cos^3\theta\\y=a\sin^3\theta
\end{cases}\]因此第一象限中围成的面积为\[\int_0^ay\dif x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}3a^2\sin^4\theta\cos^2\theta\dif \theta=\frac{3\pi}{32}a^2\]因此，整个图形面积为 `\D\frac{3\pi}{8}a^2`

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syms x;
%format rat
a=8;
y=(sqrt(a.^(2/3)-x.^(2/3))).^3;
s0=4*int(y,x,0,a);%分解成4个对称的区域。
fprintf(2,'包络线面积基于解析的解计算为：%4f单位。\n',double(s0));%精确解。
结果：
a=1时，包络线面积基于解析的解计算为：1.178097单位。
a=8时，包络线面积基于解析的解计算为：75.398224单位。