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[提问] 边长、对角线、面积都是正整数的多边形

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发表于 2019-5-17 14:06:14 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图是一个边长、对角线、面积都是正整数的六边形(其中也包含了三角形、四边形和五边形的解),是否存在这样的七边形以及$n$边形呢(要求任意三个顶点不共线)?
n=6.jpg
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发表于 2019-5-17 14:53:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2019-5-17 15:05 编辑

圆内接多边形情形可以任意$n$边形,$n>2$。


先构造一个半径为$1$的圆。圆内接多边形每条边对应圆心角$\alpha _i$ 满足\(\tan \left(\frac{\alpha _i}{4}\right)\)为有理数。则多边形任意两顶点连线为有理数,多边形每条边与外接圆圆心形成的三角形面积为有理数,故多边形总面积为有理数。
然后把上述构造的多边形放大x倍,x为多边形边长、对角线、面积分母的最小共倍数。即得楼主要求的多边形。

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