平方根的和是否无理数

282842712474 · 发表于 2009-7-30 17:31:48

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本帖最后由 282842712474 于 2009-7-30 17:33 编辑 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$ 我已经通过自己的方法证明了上述结果都是无理数，但是对于更多项的，比如 $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}+\sqrt{13}+\sqrt{17}+\sqrt{19}$ 能够证明它是无理数吗？（根号内的数不限于素数）

mathe · 发表于 2009-7-30 21:47:40

证明这种具体的平方根和差是否为有理数,有统一的方法比如以$sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)$为例子,我们可以计算多项式 $(x-(sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)))(x-(sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(5)))(x-(sqrt(2)+sqrt(3)-sqrt(5)))(x-(sqrt(2)-sqrt(3)-sqrt(5)))*$ $(x-(-sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)))(x-(-sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(5)))(x-(-sqrt(2)+sqrt(3)-sqrt(5)))(x-(-sqrt(2)-sqrt(3)-sqrt(5)))$ $=x^8-40*x^6+352*x^4-960*x^2+576$ 现在我们只要证明多项式$x^8-40*x^6+352*x^4-960*x^2+576$没有整数根就可以了.这个只需要将576的所有正负因子代入检验就可以了

282842712474 · 发表于 2009-7-30 22:45:37

不是没有“有理数根”吗？

mathe · 发表于 2009-7-31 07:07:02

这里多项式最高项系数为1,所以有理数根必然为整数根

282842712474 · 发表于 2009-7-31 07:59:31

本帖最后由 282842712474 于 2009-7-31 08:01 编辑 我想提两个问题： 1、什么软件能够把 $(x-(-sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)))(x-(-sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(5)))(x-(-sqrt(2)+sqrt(3)-sqrt(5)))(x-(-sqrt(2)-sqrt(3)-sqrt(5)))*$ $(x-(sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)))(x-(sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(5)))(x-(sqrt(2)+sqrt(3)-sqrt(5)))(x-(sqrt(2)-sqrt(3)-sqrt(5)))$计算出来，得到$x^8-40*x^6+352*x^4-960*x^2+576$ 2、难道说$x^2-2=0$没有整数根，就说x是无理数？

mathe · 发表于 2009-7-31 08:22:35

很多软件都可以,我是用maxima 对于第二个问题,的确如此.对于任何最高项系数为1的整系数多项式,有理数根必然是整数根

282842712474 · 发表于 2009-7-31 08:27:45

本帖最后由 282842712474 于 2009-7-31 08:52 编辑 maxima有什么教程呢？Mathematica可以吗？能够用$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}$为方程根之一，生成$x^8-40*x^6+352*x^4-960*x^2+576$ 其他的几个根要满足什么样的条件？

无心人 · 发表于 2009-7-31 09:01:35

maxima是免费软件，你随意用你说的是商业软件，自己偷偷用可以，别用来发表论文和商用

无心人 · 发表于 2009-7-31 09:03:08

我想，素数的平方根的和应该是无理数

282842712474 · 发表于 2009-7-31 09:04:46

本帖最后由 282842712474 于 2009-7-31 09:09 编辑 我用过这个商业软件，只不过有点“大炮打蚊子”，大材小用了

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