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[求助] 绝对值复合抽样信号函数的渐近积分表达式

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发表于 2019-6-11 00:00:01 | 显示全部楼层 |阅读模式

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抽样信号(Sampling signal)函数就是\(\,\operatorname{Sa}(t)=\dfrac{\sin\,\!t}{t}\,\)
利用(方法一)不等式\(\,\displaystyle\int_0^{n\pi}\dfrac{\left|\sin\,\!t\right|}{t}\mathrm{d}t\leqslant\int_0^{x}\dfrac{\left|\sin\,\!t\right|}{t}\mathrm{d}t<\int_0^{(n+1)\pi}\dfrac{\left|\sin\,\!t\right|}{t}\mathrm{d}t\,\),
或是利用(方法二)施笃兹(O'Stolz)定理可以证明:
\[ \lim\limits_{\,\,x\to+\infty}\dfrac{1}{\ln\,\!x}\int_0^{x}\dfrac{\left|\sin\,\!t\right|}{t}\mathrm{d}t=\dfrac{2}{\pi}\]
但是如何得到它的渐近表达式呢?
\[ \int_0^{x}\dfrac{\left|\sin\,\!t\right|}{t}\mathrm{d}t\quad\widetilde\rightarrow\quad\dfrac{2}{\pi}\ln\,\!x \]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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