有什么规律吗？

王守恩

@dlpg070  9#
把条件1去掉，即不要求个位数为1时，n=1~9 的 n 位二进数罗列如下：

1=1

1=10
2=11

1=101
2=110
3=111

1=1010
2=1011
3=1100
4=1101
5=1110
6=1111

01=10101
02=10110
03=10111
04=11001
05=11010
06=11011
07=11100
08=11101
09=11110
10=11111

01=101010
02=101011
03=101100
04=101101
05=101110
06=101111
07=110010
08=110011
09=110100
10=110101
11=110110
12=110111
13=111000
14=111001
15=111010
16=111011
17=111100
18=111101
19=111110
20=111111

01=1010101
02=1010110
03=1010111
04=1011001
05=1011010
06=1011011
07=1011100
08=1011101
09=1011110
10=1011111
11=1100101
12=1100110
13=1100111
14=1101001
15=1101010
16=1101011
17=1101100
18=1101101
19=1101110
20=1101111
21=1110001
22=1110010
23=1110011
24=1110100
25=1110101
26=1110110
27=1110111
28=1111000
29=1111001
30=1111010
31=1111011
32=1111100
33=1111101
34=1111110
35=1111111

01=10101010
02=10101011
03=10101100
04=10101101
05=10101110
06=10101111
07=10110010
08=10110011
09=10110100
10=10110101
11=10110110
12=10110111
13=10111000
14=10111001
15=10111010
16=10111011
17=10111100
18=10111101
19=10111110
20=10111111
21=11001010
22=11001011
23=11001100
24=11001101
25=11001110
26=11001111
27=11010010
28=11010011
29=11010100
30=11010101
31=11010110
32=11010111
33=11011000
34=11011001
35=11011010
36=11011011
37=11011100
38=11011101
39=11011110
40=11011111
41=11100010
42=11100011
43=11100100
44=11100101
45=11100110
46=11100111
47=11101000
48=11101001
49=11101010
50=11101011
51=11101100
52=11101101
53=11101110
54=11101111
55=11110000
56=11110001
57=11110010
58=11110011
59=11110100
60=11110101
61=11110110
62=11110111
63=11111000
64=11111001
65=11111010
66=11111011
67=11111100
68=11111101
69=11111110
70=11111111

001=101010101
002=101010110
003=101010111
004=101011001
005=101011010
006=101011011
007=101011100
008=101011101
009=101011110
010=101011111
011=101100101
012=101100110
013=101100111
014=101101001
015=101101010
016=101101011
017=101101100
018=101101101
019=101101110
020=101101111
021=101110001
022=101110010
023=101110011
024=101110100
025=101110101
026=101110110
027=101110111
028=101111000
029=101111001
030=101111010
031=101111011
032=101111100
033=101111101
034=101111110
035=101111111
036=110010101
037=110010110
038=110010111
039=110011001
040=110011010
041=110011011
042=110011100
043=110011101
044=110011110
045=110011111
046=110100101
047=110100110
048=110100111
049=110101001
050=110101010
051=110101011
052=110101100
053=110101101
054=110101110
055=110101111
056=110110001
057=110110010
058=110110011
059=110110100
060=110110101
061=110110110
062=110110111
063=110111000
064=110111001
065=110111010
066=110111011
067=110111100
068=110111101
069=110111110
070=110111111
071=111000101
072=111000110
073=111000111
074=111001001
075=111001010
076=111001011
077=111001100
078=111001101
079=111001110
080=111001111
081=111010001
082=111010010
083=111010011
084=111010100
085=111010101
086=111010110
087=111010111
088=111011000
089=111011001
090=111011010
091=111011011
092=111011100
093=111011101
094=111011110
095=111011111
096=111100001
097=111100010
098=111100011
099=111100100
100=111100101
101=111100110
102=111100111
103=111101000
104=111101001
105=111101010
106=111101011
107=111101100
108=111101101
109=111101110
110=111101111
111=111110000
112=111110001
113=111110010
114=111110011
115=111110100
116=111110101
117=111110110
118=111110111
119=111111000
120=111111001
121=111111010
122=111111011
123=111111100
124=111111101
125=111111110
126=111111111
发现两者区别不大，就是挪一项而已。

王守恩

7#的链接中曾说要是规定1比0多，就是Catalan数，其实不然。
不限定个位数为1，并且要求1比0多，结果如下。这与限定个位数为1，1不比0少的结果是一样的。

1=1

1=11

1=110
2=111

1=1101
2=1110
3=1111

1=11010
2=11011
3=11100
4=11101
5=11110
6=11111

01=110101
02=110110
03=110111
04=111001
05=111010
06=111011
07=111100
08=111101
09=111110
10=111111

01=1101010
02=1101011
03=1101100
04=1101101
05=1101110
06=1101111
07=1110010
08=1110011
09=1110100
10=1110101
11=1110110
12=1110111
13=1111000
14=1111001
15=1111010
16=1111011
17=1111100
18=1111101
19=1111110
20=1111111

01=11010101
02=11010110
03=11010111
04=11011001
05=11011010
06=11011011
07=11011100
08=11011101
09=11011110
10=11011111
11=11100101
12=11100110
13=11100111
14=11101001
15=11101010
16=11101011
17=11101100
18=11101101
19=11101110
20=11101111
21=11110001
22=11110010
23=11110011
24=11110100
25=11110101
26=11110110
27=11110111
28=11111000
29=11111001
30=11111010
31=11111011
32=11111100
33=11111101
34=11111110
35=11111111

01=110101010
02=110101011
03=110101100
04=110101101
05=110101110
06=110101111
07=110110010
08=110110011
09=110110100
10=110110101
11=110110110
12=110110111
13=110111000
14=110111001
15=110111010
16=110111011
17=110111100
18=110111101
19=110111110
20=110111111
21=111001010
22=111001011
23=111001100
24=111001101
25=111001110
26=111001111
27=111010010
28=111010011
29=111010100
30=111010101
31=111010110
32=111010111
33=111011000
34=111011001
35=111011010
36=111011011
37=111011100
38=111011101
39=111011110
40=111011111
41=111100010
42=111100011
43=111100100
44=111100101
45=111100110
46=111100111
47=111101000
48=111101001
49=111101010
50=111101011
51=111101100
52=111101101
53=111101110
54=111101111
55=111110000
56=111110001
57=111110010
58=111110011
59=111110100
60=111110101
61=111110110
62=111110111
63=111111000
64=111111001
65=111111010
66=111111011
67=111111100
68=111111101
69=111111110
70=111111111

hujunhua

1#的数列还是用a(n)表示：n位，前缀1不少于0，个位数限1。
11#的数列用b(n)表示：n 位，前缀 1 不少于0。
Catalan数用c(n)表示：2n位0/1各半，前缀 1 不少于0。
12#的数列用d(n)表示：n 位，前缀 1 多于 0

容易证明：
1. a(n) = d(n) = b(n-1)
2. b(2n) = 2b(2n-1)
3. b(2n+1) = 2b(2n)-c(n)

然后由第3式用代入法即可验证 b(2n+1) = binomial(2n+2, n+1), b(2n) = binomial(2n-1, n)。
代入验证容易由初值开始转化为数学归纳法证明。

王守恩

卡特兰数：1，1，2，5，14，42，…
2n位，0/1各半，任意长的前缀 1 不少于 0。

0={}

1=10

1=1010
2=1100

1=101010
2=101100
3=110010
4=110100
5=111000

01=10101010
02=10101100
03=10110010
04=10110100
05=10111000
06=11001010
07=11001100
08=11010010
09=11010100
10=11011000
11=11100010
12=11100100
13=11101000
14=11110000

01=1010101010
02=1010101100
03=1010110010
04=1010110100
05=1010111000
06=1011001010
07=1011001100
08=1011010010
09=1011010100
10=1011011000
11=1011100010
12=1011100100
13=1011101000
14=1011110000
15=1100101010
16=1100101100
17=1100110010
18=1100110100
19=1100111000
20=1101001010
21=1101001100
22=1101010010
23=1101010100
24=1101011000
25=1101100010
26=1101100100
27=1101101000
28=1101110000
29=1110001010
30=1110001100
31=1110010010
32=1110010100
33=1110011000
34=1110100010
35=1110100100
36=1110101000
37=1110110000
38=1111000010
39=1111000100
40=1111001000
41=1111010000
42=1111100000

王守恩

问题扩展：3n 位，2n 个 1 和 n 个 0，任意长的前缀 1 不少于  0 的 2 倍。

1=110

1=110110
2=111010
3=111100

01=110110110
02=110111010
03=110111100
04=111010110
05=111011010
06=111011100
07=111100110
08=111101010
09=111101100
10=111110010
11=111110100
12=111111000

01=110110110110
02=110110111010
03=110110111100
04=110111010110
05=110111011010
06=110111011100
07=110111100110
08=110111101010
09=110111101100
10=110111110010
11=110111110100
12=110111111000
13=111010110110
14=111010111010
15=111010111100
16=111011010110
17=111011011010
18=111011011100
19=111011100110
20=111011101010
21=111011101100
22=111011110010
23=111011110100
24=111011111000
25=111100110110
26=111100111010
27=111100111100
28=111101010110
29=111101011010
30=111101011100
31=111101100110
32=111101101010
33=111101101100
34=111101110010
35=111101110100
36=111101111000
37=111110010110
38=111110011010
39=111110011100
40=111110100110
41=111110101010
42=111110101100
43=111110110010
44=111110110100
45=111110111000
46=111111000110
47=111111001010
48=111111001100
49=111111010010
50=111111010100
51=111111011000
52=111111100010
53=111111100100
54=111111101000
55=111111110000

王守恩

问题扩展：n位，任意长前缀 1 不少于 0 的 2 倍

1=1

1=11

1=110
2=111

1=1101
2=1110
3=1111

1=11011
2=11101
3=11110
4=11111

1=110110
2=110111
3=111010
4=111011
5=111100
6=111101
7=111110
8=111111

01=1101101
02=1101110
03=1101111
04=1110101
05=1110110
06=1110111
07=1111001
08=1111010
09=1111011
10=1111100
11=1111101
12=1111110
13=1111111

01=11011011
02=11011101
03=11011110
04=11011111
05=11101011
06=11101101
07=11101110
08=11101111
09=11110011
10=11110101
11=11110110
12=11110111
13=11111001
14=11111010
15=11111011
16=11111100
17=11111101
18=11111110
19=11111111

01=110110110
02=110110111
03=110111010
04=110111011
05=110111100
06=110111101
07=110111110
08=110111111
09=111010110
10=111010111
11=111011010
12=111011011
13=111011100
14=111011101
15=111011110
16=111011111
17=111100110
18=111100111
19=111101010
20=111101011
21=111101100
22=111101101
23=111101110
24=111101111
25=111110010
26=111110011
27=111110100
28=111110101
29=111110110
30=111110111
31=111111000
32=111111001
33=111111010
34=111111011
35=111111100
36=111111101
37=111111110
38=111111111

王守恩

问题扩展：n位，长度3以上的前缀 0 不少于 1 的 2 倍

1=100

1=1000

1=10000

1=100000
2=100001

1=1000000
2=1000001
3=1000010

1=10000000
2=10000001
3=10000010
4=10000100

1=100000000
2=100000001
3=100000010
4=100000011
5=100000100
6=100000101
7=100001000
8=100001001

01=1000000000
02=1000000001
03=1000000010
04=1000000011
05=1000000100
06=1000000101
07=1000000110
08=1000001000
09=1000001001
10=1000001010
11=1000010000
12=1000010001
13=1000010010

01=10000000000
02=10000000001
03=10000000010
04=10000000011
05=10000000100
06=10000000101
07=10000000110
08=10000001000
09=10000001001
10=10000001010
11=10000001100
12=10000010000
13=10000010001
14=10000010010
15=10000010100
16=10000100000
17=10000100001
18=10000100010
19=10000100100

hujunhua

@dlpg070

"胡乱"变来变去，自歪其楼，确实不好，同感。
楼主的这些排列，放一两贴出来就行了，多则烂矣。草稿上的东西放出来做啥呢？
最早放出来的还有错误，误导了你的计算。您专门指了出来。作为管理员，我进行了整理，消除了这些冗余。
你的代码不属冗余，乃受了牵连被删（在4#没删吧）。好在代码简单，2#就有，没必要以code的形式再列出来。

但愿大家能接受、喜欢整理净化后的帖子。
更希望有的朋友注重一下帖子质量，包括单层质量和单元质量。