谁能把这个过三点圆的方程表达式写得尽可能对称？

mathematica

比如三点
(x1,y1)
(x2,y2)
(x3,y3)

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*定义圆的方程*)
   
3. fun[x_,y_]:=x^2+y^2+d*x+e*y+f
   
4. (*三个点都在圆上，列三个方程解三个未知数*)
   
5. FullSimplify@Solve[
   
6.     fun[x1,y1]==0&&
   
7.     fun[x2,y2]==0&&
   
8.     fun[x3,y3]==0,
   
9.     {d,e,f}
   
10. ]
    

复制代码

\[d\to \frac{(\text{y2}-\text{y3}) \left(\text{x1}^2+(\text{y1}-\text{y2}) (\text{y1}-\text{y3})\right)+\text{x2}^2 (\text{y3}-\text{y1})+\text{x3}^2 (\text{y1}-\text{y2})}{\text{x1} (\text{y3}-\text{y2})+\text{x2} (\text{y1}-\text{y3})+\text{x3} (\text{y2}-\text{y1})}\]

\[e\to \frac{\text{x1}^2 (\text{x2}-\text{x3})+\text{x1} \left(-\text{x2}^2+\text{x3}^2-\text{y2}^2+\text{y3}^2\right)+\text{x2}^2 \text{x3}-\text{x2} \left(\text{x3}^2-\text{y1}^2+\text{y3}^2\right)+\text{x3} \left(\text{y2}^2-\text{y1}^2\right)}{\text{x1} (\text{y2}-\text{y3})+\text{x2} (\text{y3}-\text{y1})+\text{x3} (\text{y1}-\text{y2})}\]

\[f\to \frac{-\text{x2} \text{y3} \left(\text{x1}^2+\text{y1} (\text{y1}-\text{y3})\right)+\text{x1}^2 \text{x3} \text{y2}+\text{x2}^2 (\text{x1} \text{y3}-\text{x3} \text{y1})-\text{x1} \text{y2} \left(\text{x3}^2+\text{y3} (\text{y3}-\text{y2})\right)+\text{x2} \text{x3}^2 \text{y1}+\text{x3} \text{y1} \text{y2} (\text{y1}-\text{y2})}{\text{x1} (\text{y2}-\text{y3})+\text{x2} (\text{y3}-\text{y1})+\text{x3} (\text{y1}-\text{y2})}\]


软件没那么智能，得到的结果表达形式不怎么对称。
那如何才能对称表达呢？
试试行列式之类的

gxqcn

楼主去年就问了：有没有判定多点共圆的行列式?
mathe 在 3# 就给出了完美答复，可惜楼主似乎没读懂。

针对楼主的问题，再显式的给出行列式表达的方程式：
\[\begin{vmatrix}
x^2+y^2 & x & y & 1\\
x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\
x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\
x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\\
\end{vmatrix}=0\]

可参考：行列式在解析几何中的应用问题 毕业论文

倪举鹏

过空间三点的圆呢？

倪举鹏

我瞎猜：第一行：x^2+y^2+z^2,x,y,z。下面几行类似

chyanog

用克莱姆法则解

1. Clear["`*"];
   
2. 
   
3. crule[m_,b_]:=Module[{d=det[m],a}, Table[a=m;a[[All,k]]=b;det[a]/d,{k,Length[m]}]];
   
4. 
   
5. sys=Function[{x,y},x^2+y^2+d x+e y+f]@@@{{x1,y1},{x2,y2},{x3,y3}};
   
6. 
   
7. {b,m}=CoefficientArrays[sys,{d,e,f}]//Normal
   
8. 
   
9. TraditionalForm[res=crule[m,-b]]
   
10. 
    
11. res==First@Values@Solve[sys==0,{d,e,f}]/.det->Det//Simplify

复制代码

葡萄糖

过平面不共线三点\(\,M_i(x_i,y_i,z_i)\,\),\(\,i=1,2,3\,\)的圆曲线\(\,\odot\,\!P\,\)方程为：\[\begin{vmatrix}
x^2+y^2&x&y&1\\
{x_1}^2+{y_1}^2&x_1&y_1&1\\
{x_2}^2+{y_2}^2&x_2&y_2&1\\
{x_3}^2+{y_3}^2&x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix}=0\]
而圆心\(\,\odot\,\!P\,\)为（注意这里系数为\(\,\dfrac{1}{2}\,\)）：
\begin{align*}
x_{\overset{\,}P}&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D{_{\overset{\,}(x,y)}}}
\begin{vmatrix}
{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(1)}}
&y_1&1\\
{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(2)}}
&y_2&1\\
{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(3)}}
&y_3&1\\
\end{vmatrix}\\
\\
y_{\overset{\,}P}&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D{_{\overset{\,}(x,y)}}}
\begin{vmatrix}
x_1&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(1)}}
&1\\
x_2&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(2)}}
&1\\
x_3&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(3)}}
&1\\
\end{vmatrix}\\
\\
\end{align*}
\begin{align*}
R_{\overset{\,}{\odot\,\!P}}  
&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D{_{\overset{\,}(x,y)}}}  
\sqrt{\begin{vmatrix}  
{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(1)}}  
&y_1&1\\  
{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(2)}}  
&y_2&1\\  
{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(3)}}  
&y_3&1\\  
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}  
x_1&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(1)}}  
&1\\  
x_2&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(2)}}  
&1\\  
x_3&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(3)}}  
&1\\  
\end{vmatrix}^2+4D{_{\overset{\,}(x,y)}}  
\begin{vmatrix}  
x_1&y_1&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(1)}}\\  
x_2&y_2&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(2)}}\\  
x_3&z_3&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(3)}}\\  
\end{vmatrix}\,  
}\\
&=  
\sqrt{
{x_{\overset{\,}P}}^2+{y_{\overset{\,}P}}^2+
\dfrac{P{_{\overset{\,}(x,y)}}}{D{_{\overset{\,}(x,y)}}}
}\\
\end{align*}
其中\(\,{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(i)}={x_i}^2+{y_i}^2\,\)，\( D{_{\overset{\,}(x,y)}}=\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix} \)，\(P{_{\overset{\,}(x,y)}}=\begin{vmatrix}
x_1&y_1&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(1)}}\\
x_2&y_2&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(2)}}\\
x_3&z_3&{{_{\overset{\,}(x,y)}}s_{\overset{\,}(3)}}\\
\end{vmatrix}\)
（注意：曲线方程以及曲面方程表达式中D含义不同，半径公式中D的符号不相同，注意区分）
********** ********** ********** ********** ********** **********
过空间不共面四点\(\,M_i(x_i,y_i,z_i)\,\),\(\,i=1,2,3,4\,\)的球面方程为：\[\begin{vmatrix}
x^2+y^2+z^2&x&y&z&1\\
{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2&x_1&y_1&z_1&1\\
{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2&x_2&y_2&z_2&1\\
{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2&x_3&y_3&z_3&1\\
{x_4}^2+{y_4}^2+{z_4}^2&x_4&y_4&z_4&1\\
\end{vmatrix}=0\]
而球心\(\,\odot\,\!Q\,\)为（注意这里系数为\(\,\dfrac{1}{2}\,\)）：
\begin{align*}
x_{\overset{\,}Q}&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D{_{\overset{\,}(x,y,z)}}}
\begin{vmatrix}
{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(1)}}
&y_1&z_1&1\\
{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(2)}}
&y_2&z_2&1\\
{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(3)}}
&y_3&z_3&1\\
{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(4)}}
&y_4&z_4&1\\
\end{vmatrix}\\
\\
y_{\overset{\,}Q}&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D{_{\overset{\,}(x,y,z)}}}
\begin{vmatrix}
x_1&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(1)}}
&z_1&1\\
x_2&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(2)}}
&z_2&1\\
x_3&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(3)}}
&z_3&1\\
x_4&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(4)}}
&z_4&1\\
\end{vmatrix}\\
\\
z_{\overset{\,}Q}&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D{_{\overset{\,}(x,y,z)}}}
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(1)}}&1\\
x_2&y_2&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(2)}}&1\\
x_3&y_3&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(3)}}&1\\
x_4&y_4&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(4)}}&1\\
\end{vmatrix}\\
\end{align*}
\begin{align*}
R_{\overset{\,}{\odot\,\!Q}}  
&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D{_{\overset{\,}(x,y,z)}}}  
\sqrt{\begin{vmatrix}  
{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(1)}}  
&y_1&z_1&1\\
{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(2)}}  
&y_2&z_2&1\\  
{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(3)}}  
&y_3&z_3&1\\
{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(4)}}  
&y_4&z_4&1\\
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}  
x_1&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(1)}}  
&z_1&1\\
x_2&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(2)}}  
&z_2&1\\
x_3&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(3)}}  
&z_3&1\\
x_4&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(4)}}  
&z_4&1\\  
\end{vmatrix}^2+
\begin{vmatrix}  
x_1&y_1&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(1)}}  
&1\\
x_2&y_2&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(2)}}  
&1\\
x_3&y_3&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(3)}}  
&1\\
x_4&y_4&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(4)}}  
&1\\  
\end{vmatrix}^2
-4D{_{\overset{\,}(x,y)}}  
Q{_{\overset{\,}(x,y,z)}}\,  
}\\
&=  
\sqrt{
{x_{\overset{\,}Q}}^2+{y_{\overset{\,}Q}}^2+{z_{\overset{\,}Q}}^2{\color{red}-}
\dfrac{Q{_{\overset{\,}(x,y,z)}}}{D{_{\overset{\,}(x,y,z)}}}
}\\
\end{align*}
其中\(\,{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(i)}={x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2\,\)，\( D{_{\overset{\,}(x,y,z)}}=\begin{vmatrix}
x_1&y_1&z_1&1\\
x_2&y_2&z_2&1\\
x_3&y_3&z_3&1\\
x_4&y_4&z_4&1\\
\end{vmatrix} \)，\(Q{_{\overset{\,}(x,y,z)}}=\begin{vmatrix}   
x_1&y_1&z_1&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(1)}}   
\\
x_2&y_2&z_2&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(2)}}   
\\  
x_3&y_3&z_3&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(3)}}   
\\
x_4&y_4&z_4&{{_{\overset{\,}(x,y,z)}}s_{\overset{\,}(4)}}   
\\   
\end{vmatrix}\)
（注意：曲线方程以及曲面方程表达式中D含义不同，半径公式中D的符号不相同，注意区分）
球面方程的问题 参考《空间解析几何解题指导》萧永震P285  T5.5
还参考 潍坊学院本科毕业论文 行列式在解析几何中的应用问题
https://wenku.baidu.com/view/ac1 ... 00bed5b8f3731d.html

mathematica

chyanog 发表于 2019-6-24 11:17

你的结果，看起来是对的，但是实际上是错误的！
错误原因不知道！
但是我知道你结果为什么错了，
按二楼郭先强的行列式，行列式按第一行展开，得到圆的方程，
前面有系数，行列式的系数符号分别是+ - + -
你的f的结果，正好缺一个负号，结果为什么，不得而知！
我也感觉你的方法是对的（错在什么地方不知道），但是结果确确实实是错误的，
我自己已经验证过了！
从最后的结果为0，验证了两者是相反数，正好缺了一个负号！也许是mathematica的bug

葡萄糖

倪举鹏 发表于 2019-6-23 18:11
过空间三点的圆呢？

【部分细节稍后补上】
为了简单起见，取球面所过的四个点为空间直角坐标系下的
原点\(\,\,O(0,0)\,\,\)以及其余三个点（这三个点不与原点共面）
\(\,M_i(x_i,y_i,z_i)\,\),\(\quad\,i=1,2,3\,\)
利用过空间四点的球面公式得到
球心\(\,\,Q_1\,\,\)的坐标为：
\begin{align*}
x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}} }&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D}
\begin{vmatrix}
{s_{\overset{\,}(1)}}
&y_1&z_1\\
{s_{\overset{\,}(2)}}
&y_2&z_2\\
{s_{\overset{\,}(3)}}
&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}\\
\\
y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}} }&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D}
\begin{vmatrix}
x_1&{s_{\overset{\,}(1)}}
&z_1\\
x_2&{s_{\overset{\,}(2)}}
&z_2\\
x_3&{s_{\overset{\,}(3)}}
&z_3\\
\end{vmatrix}\\
\\
z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}} }&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D}
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&{s_{\overset{\,}(1)}}\\
x_2&y_2&{s_{\overset{\,}(2)}}\\
x_3&y_3&{s_{\overset{\,}(3)}}\\
\end{vmatrix}\\
\end{align*}
\begin{align*}  
R_{\overset{\,}{\odot\,\!Q_{\overset{\,}1}} }   
&=\dfrac{1}{{\color{red}2}D}   
\sqrt{\begin{vmatrix}   
{s_{\overset{\,}(1)}}   
&y_1&z_1\\  
{s_{\overset{\,}(2)}}   
&y_2&z_2\\   
{s_{\overset{\,}(3)}}   
&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}   
x_1&{s_{\overset{\,}(1)}}   
&z_1\\  
x_2&{s_{\overset{\,}(2)}}   
&z_2\\   
x_3&{s_{\overset{\,}(3)}}   
&z_3\\  
\end{vmatrix}^2+  
\begin{vmatrix}   
x_1&y_1&{s_{\overset{\,}(1)}}   
\\
x_2&y_2&{s_{\overset{\,}(2)}}   
\\
x_3&y_3&{s_{\overset{\,}(3)}}   
\\
\end{vmatrix}^2
}\\   
&=   
\sqrt{   
{x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}} }}^2+{y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}} }}^2+{z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}} }}^2
}\\   
\end{align*}
其中\(\,s_{\overset{\,}(i)}={x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2\,\)，\(D=\begin{vmatrix}
x_1&y_1&z_1\\
x_2&y_2&z_2\\
x_3&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}{\color{red}{\ne0}}\)
过三点\(\,M_i(x_i,y_i,z_i)\,\),\(\quad\,i=1,2,3\,\)的平面\(\,\,{\Large{\pi}}_{M_1M_2M_3}\)其方程为
\begin{align*}
\,\,{\Large{\pi}}_{M_1M_2M_3}\,\colon\quad\,
Ax+By+Cz+D_{\Pi}&=0\\
\\
\begin{vmatrix}
x&y&z&1\\  
x_1&y_1&z_1&1\\  
x_2&y_2&z_2&1\\  
x_3&y_3&z_3&1\\  
\end{vmatrix}&=0
\end{align*}
其中\(A=\begin{vmatrix}
y_1&z_1&1\\
y_2&z_2&1\\
y_3&z_3&1\\
\end{vmatrix}\), \(B=\begin{vmatrix}
z_1&x_1&1\\
z_2&x_2&1\\
z_3&x_3&1\\
\end{vmatrix}\), \(C=\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix}\), \(D_{\Pi}=-\begin{vmatrix}  
x_1&y_1&z_1\\  
x_2&y_2&z_2\\  
x_3&y_3&z_3\\  
\end{vmatrix}{\color{red}{\ne0}}\), \(S_{\triangle\,\!M_1M_2M_3}=\dfrac{1}{2}\sqrt{A^2+B^2+C^2\,}\)
再用球心\(\,\,{Q_{\overset{\,}1}}\,\,\)往平面\(\,\,{\Large{\pi}}_{M_1M_2M_3}\)作垂线，垂足即为过空间中三点\(\,M_i(x_i,y_i,z_i)\,\),\(\quad\,i=1,2,3\,\)的圆心\(\,\,{Q_{\overset{\,}2}}\,\,\)
\begin{align*}  
x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}2}}}&=x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}-\dfrac{A}{A^2+B^2+C^2}\cdot\begin{vmatrix}
x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}2}}\,}&y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}&z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}&1\\  
x_1&y_1&z_1&1\\  
x_2&y_2&z_2&1\\  
x_3&y_3&z_3&1\\  
\end{vmatrix}\\
x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}2}}}&=x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}-\dfrac{A\left(Ax_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Bx_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Cz_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+D\right)}{A^2+B^2+C^2}\\
y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}2}}\,}&=y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}-\dfrac{B}{A^2+B^2+C^2}\cdot\begin{vmatrix}
x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}&y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}&z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}&1\\  
x_1&y_1&z_1&1\\  
x_2&y_2&z_2&1\\  
x_3&y_3&z_3&1\\  
\end{vmatrix}\\
y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}2}}}&=y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}-\dfrac{B\left(Ax_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Bx_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Cz_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+D\right)}{A^2+B^2+C^2}\\
z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}2}}}&=z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}}-\dfrac{C}{A^2+B^2+C^2}\cdot\begin{vmatrix}
x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}&y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}&z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}&1\\  
x_1&y_1&z_1&1\\  
x_2&y_2&z_2&1\\  
x_3&y_3&z_3&1\\
\end{vmatrix}\\
z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}2}}}&=z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}-\dfrac{C\left(Ax_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Bx_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Cz_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+D\right)}{A^2+B^2+C^2}\\
\end{align*}
\begin{align*}   
R_{\overset{\,}{\odot\,\!Q_{\overset{\,}2}} }     
&=   
\sqrt{\,{R_{\overset{\,}{\odot\,\!Q_{\overset{\,}2}} }}^2-
\dfrac{\left(Ax_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Bx_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Cz_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+D\right)^2}{A^2+B^2+C^2}
}\\   
&=     
\sqrt{   
{x_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}} }}^2+{y_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}} }}^2+{z_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}} }}^2 --
\dfrac{\left(Ax_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Bx_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+Cz_{\overset{\,}{Q_{\overset{\,}1}}\,}+D\right)^2}{A^2+B^2+C^2}
}\\   
\end{align*}

葡萄糖

mathematica 发表于 2019-6-24 13:35
你的结果，看起来是对的，但是实际上是错误的！
错误原因不知道！
但是我知道你结果为什么错了，

chyanog先前的错误在于  所得到分式的分子行列式的符号（正负号）有问题
\[\left|\boldsymbol{A}_{\odot\,\!P_{\overset{\,}0}}\right|\,\colon=\begin{vmatrix}
x^2+y^2&x&y&1\\
{x_1}^2+{y_1}^2&x_1&y_1&1\\
{x_2}^2+{y_2}^2&x_2&y_2&1\\
{x_3}^2+{y_3}^2&x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix}=0\]
用矩阵\(\,\boldsymbol{A}_{\odot\,\!P_{\overset{\,}0}}\,\)的行列式来表示圆曲线方程中出现的行列式
如果将矩阵\(\,\boldsymbol{A}_{\odot\,\!P_{\overset{\,}0}}\,\)去掉第一行的\(\,3\times4\,\)的各列记为\(\,\text{Col}_1,\text{Col}_2,\text{Col}_3,\text{Col}_4\,\)
矩阵\(\,\boldsymbol{A}_{\odot\,\!P_{\overset{\,}0}}\,\)的行列式关于第一行展开，
其中第一行元素对应的代数余子式记为\(\,{\large\color{blue}{\Delta_{11}}}\,,\,{\large\color{blue}{\Delta_{12}}}\,,\,{\large\color{blue}{\Delta_{13}}}\,,\,{\large\color{blue}{\Delta_{14}}}\)
\(\,\left|\boldsymbol{A}_{\odot\,\!P_{\overset{\,}0}}\right|=\left(x^2+y^2\right)\cdot{\large\color{blue}{\Delta_{11}}}+x\cdot{\large\color{blue}{\Delta_{12}}}+y\cdot{\large\color{blue}{\Delta_{13}}}+{\large\color{blue}{\Delta_{14}}}\,\)
于是\(\,\,x^2+y^2+x\dfrac{\large\color{blue}{\Delta_{12}}}{\large\color{blue}{\Delta_{11}}}+y\dfrac{\large\color{blue}{\Delta_{13}}}{\large\color{blue}{\Delta_{11}}}+\dfrac{\large\color{blue}{\Delta_{14}}}{\large\color{blue}{\Delta_{11}}}=0\,\)
\(\,\,x^2+y^2+e^*x+f^*y+g^*=0\,\)
那么圆曲线方程一次项与常数项的系数应该为：
\(\,\,\left(e^*,f^*,g^*\right)=\left(\dfrac{\large\color{blue}{\Delta_{12}}}{\large\color{blue}{\Delta_{11}}},\dfrac{\large\color{blue}{\Delta_{13}}}{\large\color{blue}{\Delta_{11}}},\dfrac{\large\color{blue}{\Delta_{14}}}{\large\color{blue}{\Delta_{11}}}\right)\)
所得到分式的分子行列式可以表示为
\begin{align*}
\left(\large\color{blue}{\Delta_{12}},\large\color{blue}{\Delta_{13}},\large\color{blue}{\Delta_{14}}\right)
&=\left(\quad(-1)\begin{vmatrix}
{x_1}^2+{y_1}^2&y_1&1\\
{x_2}^2+{y_2}^2&y_2&1\\
{x_3}^2+{y_3}^2&y_3&1\\
\end{vmatrix},
(+1)\begin{vmatrix}
{x_1}^2+{y_1}^2&x_1&1\\
{x_2}^2+{y_2}^2&x_2&1\\
{x_3}^2+{y_3}^2&x_3&1\\
\end{vmatrix},
(-1)\begin{vmatrix}
{x_1}^2+{y_1}^2&x_1&y_1\\
{x_2}^2+{y_2}^2&x_2&y_2\\
{x_3}^2+{y_3}^2&x_3&y_3\\
\end{vmatrix}\quad
\right)\\
&=\left(\quad(-1)\begin{vmatrix}
{x_1}^2+{y_1}^2&y_1&1\\
{x_2}^2+{y_2}^2&y_2&1\\
{x_3}^2+{y_3}^2&y_3&1\\
\end{vmatrix},
(-1)\begin{vmatrix}
x_1&{x_1}^2+{y_1}^2&1\\
x_2&{x_2}^2+{y_2}^2&1\\
x_3&{x_3}^2+{y_3}^2&1\\
\end{vmatrix},
(-1)\begin{vmatrix}
x_1&y_1&{x_1}^2+{y_1}^2\\
x_2&y_2&{x_2}^2+{y_2}^2\\
x_3&y_3&{x_3}^2+{y_3}^2\\
\end{vmatrix}\quad
\right)\\
&=\left(\quad(-1)\bigg|\begin{matrix}
\text{Col}_1&\text{Col}_3&\text{Col}_4
\end{matrix}\bigg|,
(-1)\bigg|\begin{matrix}
\text{Col}_2&\text{Col}_1&\text{Col}_4
\end{matrix}\bigg|,
(-1)\bigg|\begin{matrix}
\text{Col}_2&\text{Col}_3&\text{Col}_1
\end{matrix}\bigg|\quad
\right)
\end{align*}

葡萄糖

倪举鹏 发表于 2019-6-23 18:11
过空间三点的圆呢？

\begin{align*}
x_0=\displaystyle
\frac{
\begin{vmatrix}
1&y_1&z_1\\
1&y_2&z_2\\
1&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&z_1\\
x_2&y_2&z_2\\
x_3&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x_1&1&z_1\\
x_2&1&z_2\\
x_3&1&z_3\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\frac{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{2}&1&z_1\\
\frac{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}{2}&1&z_2\\
\frac{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}{2}&1&z_3\\
\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\frac{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{2}&y_1&1\\
\frac{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}{2}&y_2&1\\
\frac{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}{2}&y_3&1\\
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
1&y_1&z_1\\
1&y_2&z_2\\
1&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}
x_1&1&z_1\\
x_2&1&z_2\\
x_3&1&z_3\\
\end{vmatrix} ^2
+\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix}^2}\\
\\
y_0=\displaystyle
\frac{
\begin{vmatrix}
1&y_1&z_1\\
1&y_2&z_2\\
1&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
1&\frac{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{2}&z_1\\
1&\frac{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}{2}&z_2\\
1&\frac{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}{2}&z_3\\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x_1&1&z_1\\
x_2&1&z_2\\
x_3&1&z_3\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&z_1\\
x_2&y_2&z_2\\
x_3&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_1&\frac{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{2}&1\\
x_2&\frac{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}{2}&1\\
x_3&\frac{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}{2}&1\\
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
1&y_1&z_1\\
1&y_2&z_2\\
1&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}
x_1&1&z_1\\
x_2&1&z_2\\
x_3&1&z_3\\
\end{vmatrix} ^2
+\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix}^2}\\
\\
z_0=\displaystyle
\frac{
\begin{vmatrix}
1&y_1&z_1\\
1&y_2&z_2\\
1&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
1&y_1&\frac{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{2}\\
1&y_2&\frac{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}{2}\\
1&y_3&\frac{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}{2}\\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
x_1&1&z_1\\
x_2&1&z_2\\
x_3&1&z_3\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_1&1&\frac{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{2}\\
x_2&1&\frac{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}{2}\\
x_3&1&\frac{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}{2}\\
\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&z_1\\
x_2&y_2&z_2\\
x_3&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
1&y_1&z_1\\
1&y_2&z_2\\
1&y_3&z_3\\
\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}
x_1&1&z_1\\
x_2&1&z_2\\
x_3&1&z_3\\
\end{vmatrix} ^2
+\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1\\
\end{vmatrix}^2}\\
\end{align*}