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# [求助] 复数域内的不可约多项式在四元数域内可约吗？

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楼主| 发表于 2019-9-5 00:06:18 | 显示全部楼层
 顶起，求@mathe @wayne 解惑

 复数域内不可约多项式只有一次多项式

楼主| 发表于 2019-9-5 11:45:34 | 显示全部楼层
 mathe 发表于 2019-9-5 06:08 复数域内不可约多项式只有一次多项式 复数域内，一元高次多项式是肯定可约的。在多元情形不一定。 https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_polynomial A polynomial that is irreducible over any field containing the coefficients is absolutely irreducible. By the fundamental theorem of algebra, a univariate polynomial is absolutely irreducible if and only if its degree is one. On the other hand, with several indeterminates, there are absolutely irreducible polynomials of any degree, such as $${\displaystyle x^{2}+y^{n}-1,} {\displaystyle x^{2}+y^{n}-1,}$$ for any positive integer n.

楼主| 发表于 2019-9-7 17:22:28 | 显示全部楼层
 本帖最后由 zeroieme 于 2019-9-7 17:29 编辑 建立参数方程 $$\left(\left(a_r+a_i I+a_j J+a_k K\right) \left(x_r+x_i I+x_j J+x_k K\right)+\left(b_r+b_i I+b_j J+b_k K\right) \left(y_r+y_i I+y_j J+y_k K\right)+\left(c_r+c_i I+c_j J+c_k K\right)\right) \left(\left(d_r+d_i I+d_j J+d_k K\right) \left(x_r+x_i I+x_j J+x_k K\right)+\left(e_r+e_i I+e_j J+e_k K\right) \left(y_r+y_i I+y_j J+y_k K\right)+\left(f_r+f_i I+f_j J+f_k K\right)\right)=\left(x_r+x_i I+x_j J+x_k K\right){}^2+\left(y_r+y_i I+y_j J+y_k K\right){}^2-1$$

楼主| 发表于 2019-9-7 17:52:18 | 显示全部楼层
 本帖最后由 zeroieme 于 2019-9-7 19:23 编辑 方程组先线性简化有 $$\left\{a_i d_i=0,a_j d_i=0,a_k d_i=0,a_r d_i=0,b_i d_i=0,b_j d_i=0,b_k d_i=0,b_r d_i=0,a_i d_j=0,a_j d_j=0,a_k d_j=0,a_r d_j=0,b_i d_j=0,b_j d_j=0,b_k d_j=0,b_r d_j=0,a_i d_k=0,a_j d_k=0,a_k d_k=0,a_r d_k=0,b_i d_k=0,b_j d_k=0,b_k d_k=0,b_r d_k=0,a_i d_r=0,a_j d_r=0,a_k d_r=0,a_r d_r-1=0,b_i d_r=0,b_j d_r=0,b_k d_r=0,b_r d_r=0,a_i e_i=0,a_j e_i=0,a_k e_i=0,a_r e_i=0,b_i e_i=0,b_j e_i=0,b_k e_i=0,b_r e_i=0,a_i e_j=0,a_j e_j=0,a_k e_j=0,a_r e_j=0,b_i e_j=0,b_j e_j=0,b_k e_j=0,b_r e_j=0,a_i e_k=0,a_j e_k=0,a_k e_k=0,a_r e_k=0,b_i e_k=0,b_j e_k=0,b_k e_k=0,b_r e_k=0,a_i e_r=0,a_j e_r=0,a_k e_r=0,a_r e_r=0,b_i e_r=0,b_j e_r=0,b_k e_r=0,b_r e_r-1=0,a_i f_i=0,a_j f_i=0,a_k f_i=0,a_r f_i=0,b_i f_i=0,b_j f_i=0,b_k f_i=0,b_r f_i=0,a_i f_j=0,a_j f_j=0,a_k f_j=0,a_r f_j=0,b_i f_j=0,b_j f_j=0,b_k f_j=0,b_r f_j=0,a_i f_k=0,a_j f_k=0,a_k f_k=0,a_r f_k=0,b_i f_k=0,b_j f_k=0,b_k f_k=0,b_r f_k=0,c_r f_i-c_k f_j+c_j f_k+c_i f_r=0,c_k f_i+c_r f_j-c_i f_k+c_j f_r=0,c_j f_i-c_i f_j-c_r f_k-c_k f_r=0,c_i f_i+c_j f_j+c_k f_k-c_r f_r-1=0,c_r d_i-c_k d_j+c_j d_k+c_i d_r+a_i f_r=0,c_k d_i+c_r d_j-c_i d_k+c_j d_r+a_j f_r=0,c_j d_i-c_i d_j-c_r d_k-c_k d_r-a_k f_r=0,c_i d_i+c_j d_j+c_k d_k-c_r d_r-a_r f_r=0,c_r e_i-c_k e_j+c_j e_k+c_i e_r+b_i f_r=0,c_k e_i+c_r e_j-c_i e_k+c_j e_r+b_j f_r=0,c_j e_i-c_i e_j-c_r e_k-c_k e_r-b_k f_r=0,c_i e_i+c_j e_j+c_k e_k-c_r e_r-b_r f_r=0\right\}$$

楼主| 发表于 2019-9-7 19:31:50 | 显示全部楼层
 无解

楼主| 发表于 2019-9-8 20:41:11 | 显示全部楼层
 能否证明对于任何正整数n都不存在以下关系： (A X+B Y+C)(D X+E Y+F)=X^2+Y^2-I A,B,C,D,E,F,X,Y均为n阶方阵，I为n阶单位矩阵。

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