数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 641|回复: 8

[求助] 三角形的构形条件

[复制链接]
发表于 2019-7-14 07:07:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
昨天,一学生问我一个题,请问有没有比较简单的证法

已知: `a, b, c` 是一个三角形的三边长,`x=\sqrt{b^2+c^2}, y=\sqrt{c^2+a^2}, z=\sqrt{a^2+b^2}`。
求证:以 `x,y,z` 为边可以构成一个锐角三角形。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-7-14 08:14:24 | 显示全部楼层
三维直角坐标系中的三点形 `\{(a,0,0),  (0,b,0), (0,0,c)\}`之三边长即是 `x,y,z`。
三点所在平面的法向量为\(\D(a^{-1},b^{-1},c^{-1})\),故原点在平面上的投影——易证为该三角形的垂心——落在三角形内,所以该三角形是锐角三角形。
或者由`x^2+y^2-z^2=2c^2>0,y^2+z^2-x^2=2a^2>0,z^2+x^2-y^2=2b^2>0`→该三角形是锐角三角形。

显然,题设里的$a,b,c$可以是任意非零值,不必限于一个三角形的三边长。由于`x,y,z`皆为`a,b,c`的偶函数,限于正值不失一般性。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-7-14 08:58:49 | 显示全部楼层
假设
p=(a+b+c)/2
那么abc构成三角形三边的条件是
a<p
b<p
c<p
按照这个思路,很容易证明你想要的结论,
这个思想来自于海伦公式

点评

哈哈哈,题目改了,你的方法失灵了。  发表于 2019-7-14 16:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-7-14 19:07:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 陈九章 于 2019-7-14 19:14 编辑

感谢wayne、mathematica、hujunhua三位顶级专家的赐教!特别是wayne老师的方法简单直观,学后,受益匪浅!
还有如下一个三角形构形条件问题,敬请三位老师及论坛各位老师赐教!谢谢!


12.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-7-14 20:15:43 | 显示全部楼层
突然间发现 我的帖子 被 幕后英雄 编辑了,更加严谨了,^_^
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-7-15 03:26:22 | 显示全部楼层
不妨设$x<y<z$

$x^2+y^2<z^2$
这就够了
剩下的画个图就显然了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-7-15 06:28:03 来自手机 | 显示全部楼层
猜想1三角计算即可,猜想2显然错误
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-7-15 18:44:55 | 显示全部楼层
谢谢两位老师的赐教!
如果用符号软件具体算一下,就更有说服力了,呵呵
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-10-23 20:34 , Processed in 0.059654 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表