三角形的构形条件

陈九章

昨天，一学生问我一个题，请问有没有比较简单的证法

已知： `a, b, c` 是一个三角形的三边长，`x=\sqrt{b^2+c^2}, y=\sqrt{c^2+a^2}, z=\sqrt{a^2+b^2}`。
求证：以 `x,y,z` 为边可以构成一个锐角三角形。

wayne

三维直角坐标系中的三点形 `\{(a,0,0),  (0,b,0), (0,0,c)\}`之三边长即是 `x,y,z`。
三点所在平面的法向量为\(\D\left(a^{-1},b^{-1},c^{-1}\right)\)，故原点在平面上的投影——易证为该三角形的垂心——落在三角形内，所以该三角形是锐角三角形。
或者由`x^2+y^2-z^2=2c^2>0,y^2+z^2-x^2=2a^2>0,z^2+x^2-y^2=2b^2>0`→该三角形是锐角三角形。

显然，题设里的$a,b,c$可以是任意非零值，不必限于一个三角形的三边长。由于`x,y,z`皆为`a,b,c`的偶函数，限于正值不失一般性。

mathematica

假设
p=(a+b+c)/2
那么abc构成三角形三边的条件是
a<p
b<p
c<p
按照这个思路，很容易证明你想要的结论，
这个思想来自于海伦公式

陈九章

感谢wayne、mathematica、hujunhua三位顶级专家的赐教！特别是wayne老师的方法简单直观，学后，受益匪浅！
还有如下一个三角形构形条件问题，敬请三位老师及论坛各位老师赐教！谢谢！

.·.·.

不妨设$x<y<z$
有
$x^2+y^2<z^2$
这就够了
剩下的画个图就显然了

mathe

猜想1三角计算即可，猜想2显然错误

陈九章

谢谢两位老师的赐教！
如果用符号软件具体算一下，就更有说服力了，呵呵

陈九章

请大家赐教

dlsh

计算结果

软件计算结果不知道d、e和f谁最大