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[求助] 三角形的构形条件

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发表于 2019-7-14 07:07:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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昨天,一学生问我一个题,请问有没有比较简单的证法

已知: `a, b, c` 是一个三角形的三边长,`x=\sqrt{b^2+c^2}, y=\sqrt{c^2+a^2}, z=\sqrt{a^2+b^2}`。
求证:以 `x,y,z` 为边可以构成一个锐角三角形。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-7-14 08:14:24 | 显示全部楼层
三维直角坐标系中的三点形 `\{(a,0,0),  (0,b,0), (0,0,c)\}`之三边长即是 `x,y,z`。
三点所在平面的法向量为\(\D\left(a^{-1},b^{-1},c^{-1}\right)\),故原点在平面上的投影——易证为该三角形的垂心——落在三角形内,所以该三角形是锐角三角形。
或者由`x^2+y^2-z^2=2c^2>0,y^2+z^2-x^2=2a^2>0,z^2+x^2-y^2=2b^2>0`→该三角形是锐角三角形。

显然,题设里的$a,b,c$可以是任意非零值,不必限于一个三角形的三边长。由于`x,y,z`皆为`a,b,c`的偶函数,限于正值不失一般性。
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发表于 2019-7-14 08:58:49 | 显示全部楼层
假设
p=(a+b+c)/2
那么abc构成三角形三边的条件是
a<p
b<p
c<p
按照这个思路,很容易证明你想要的结论,
这个思想来自于海伦公式

点评

哈哈哈,题目改了,你的方法失灵了。  发表于 2019-7-14 16:11
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 楼主| 发表于 2019-7-14 19:07:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 陈九章 于 2019-7-14 19:14 编辑

感谢wayne、mathematica、hujunhua三位顶级专家的赐教!特别是wayne老师的方法简单直观,学后,受益匪浅!
还有如下一个三角形构形条件问题,敬请三位老师及论坛各位老师赐教!谢谢!


12.png
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发表于 2019-7-15 03:26:22 | 显示全部楼层
不妨设$x<y<z$

$x^2+y^2<z^2$
这就够了
剩下的画个图就显然了
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发表于 2019-7-15 06:28:03 来自手机 | 显示全部楼层
猜想1三角计算即可,猜想2显然错误
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 楼主| 发表于 2019-7-15 18:44:55 | 显示全部楼层
谢谢两位老师的赐教!
如果用符号软件具体算一下,就更有说服力了,呵呵
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 楼主| 发表于 2020-4-17 14:48:50 | 显示全部楼层
请大家赐教
1.png

点评

谢谢hujunhua老师的回复!量纲没关系,实在要考虑量纲,都除以R即可。  发表于 2020-4-30 06:27
量纲都不对啊,  发表于 2020-4-24 16:24
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发表于 2020-4-29 22:13:32 | 显示全部楼层

计算结果

计算结果

软件计算结果不知道d、e和f谁最大

点评

谢谢dish老师的回复!e>f,但是,d可位于(0,f),(f,e),(e,+∞)之任意区间。  发表于 2020-4-30 06:24
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