求极限

zyhlcj · 发表于 2019-7-14 08:37:21

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已知 $ a,b,c $ 为常数，求下式极限：\[\lim_{n\to \infty}{\left(\root 3 \of {(n+a)(n+b)(n+c)}-n\right)}\]

mathe · 发表于 2019-7-14 08:55:13

${a+b+c}/3$,进行分子有理化可得

wayne · 发表于 2019-7-14 09:13:54

恩，补充一下mathe的，就是运用广义的牛顿二项式展开， $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + ....$

zyhlcj · 发表于 2019-7-14 11:37:28

分子分母同乘以（（n+a）(n+b)(n+c)）^(2/3)+n（（n+a）(n+b)(n+c)）^(1/3)+n^2

zyhlcj · 发表于 2019-7-16 14:10:31

mathe · 发表于 2019-7-16 20:19:41

实际上可以推广为对于m次多项式$f(x)=x^m+a_1*x^{m-1}+...+a_m $
$\lim_{x->+\infty} \root{m}{f(x)}-x={a_1}/m$

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