求正方形中心的轨迹

markfang2050

一边长为2a 的正方形总位于XY的第I 象限内，
当此正方形移动时它的两个相邻顶点始终分
别保持在x 轴上和y 轴上，求正方形中心的轨迹。

zyhlcj

轨迹是一条线段，方程为：y=x  (a≤x≤√2 a)

hujunhua

等价于1:2的内旋轮线。

mathe

这个和内旋轮线应该没有关系。正方形上任意一点的轨迹都应该是椭圆，只是正方形中心比较特殊，退化会自重合的两条线段

hujunhua

1:2的内旋轮上任一点的轨迹都是基圆的一条直径。
这可以转化为： 对角线（定长）搭在坐标轴上滑动的矩形的任一顶点的轨迹是一条过原点的线段。

楼主的题可以转化为：求一条对角线（长为2a）搭在坐标轴上滑动的正方形的另一对角线顶点的轨迹。

wayne

这两个相邻顶点,坐标轴原点,还有正方形 中心 四点共圆, 始终在 一个半径为a的圆上.
设坐标轴上的直角三角形的一个角为$\theta$,则直接运用余弦定理, 正方形中心 与坐标轴原点 的距离  是 $\rho^2 = 2a^2(1+sin(2\theta))$ , 转化成直角坐标就是 $x^2+y^2 = \sqrt{2}a(x+y)$,是一个圆.
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额, 跟大家的都不太一样
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对于正方形上的任意一点,仍然可以用上面的方法,假设该点同这条边的中心的距离是定值 $d$,定角$\beta$,那么极坐标方程是 $ \rho^2 = d^2+a^2-2ad \cos(2\theta+\beta)$

mathe

设正方形在坐标轴上两个顶点在复平面上分别为$A=cos(t),B=i sin(t)$
于是正方形上任意一点可以写成形式$A+z(B-A)=(1-z)A+zB$,其中参数$z$对于给定的点是固定的。
特别的对于正方形的中心，z=$\sqrt(2)/2 exp({-i\pi}/4)=1/2-i/2$，这时$1-z=1/2+i/2=\bar{z}$
也就是说正方形上一点轨迹在复平面上参数形式为$(1-z)cos(t)+i zsin(t)$
所以如果向量$1-z$和 $iz$不在一条直线上时，以这两个向量为坐标轴的仿射坐标系中轨迹上一点的坐标为$(cos(t),sin(t))$,这显然代表的是椭圆。
但是如果向量$1-z$和 $iz$在一条直线上，那么结果就退化为线段了。而对于正方形的中心$1-z$的辐角为$pi/4$,等于$iz$的辐角，所以这时结果是线段