一道初中题，如何因式分解？

mathematica

`x^5+x+1`
这个如何用初中的办法因式分解？
我知道结果，可以用mathematica一下子就干出来了，但是这不是我要的答案！
我需要的是如何用初中的办法求解！

mathematica

我所用的办法，就是通过牛顿迭代法，然后求解出复数根，
然后通过数值解，去找出代数数，然后做到分解因式，
但是还有别的办法吗？

mathe

待定系数即可

hejoseph

\[
x^5+x+1=(x^5-x^2)+(x^2+x+1)=x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x^2(x-1)+1)=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)
\]

lsr314

假设x是方程$x^2+x+1=0$的一个根，那么$x^3=1,x^(3n+2)+x+1=x^(3n)*x^2+x+1=x^2+x+1=0$,所以$x^(3n+2)+x+1$可以被$x^2+x+1$整除。
同理$x^9+x^3+x^2+x+1$可以被$x^4+x^3+x^2+x+1$整除

mathe

机械做法
首先判断$x^5+x+1$是否有一次因式，
   由于首项和末项都是1，如果存在一次因式，只能是x+1或x-1,或者说x=-1或x=1是方程的根。由于x=-1和x=1都不是方程的根，所以没有一次因式
由于不存在一次因式，所以如果能够分解，必然分解为一个二次因式和一个三次因式的乘积，由于首项末项系数都是1，只有两种情况
i) $x^5+x+1=(x^2+ux+1)(x^3+vx^2+wx+1)$
ii) $x^5+x+1=(x^2+ux-1)(x^3+vx^2+wx-1)$
比较$x^4$系数，首先可以得出v=-u,转化为
i) $x^5+x+1=(x^2+ux+1)(x^3-ux^2+wx+1)=x^5 + (-u^2 + w + 1)x^3 + ((w - 1)u + 1)x^2 + (u + w)x + 1$
ii) $x^5+x+1=(x^2+ux-1)(x^3-ux^2+wx-1)=x^5 + (-u^2 + w - 1)x^3 + ((w + 1)u - 1)x^2 - (u +w)x + 1$
所以i)中有$u+w=1$,做替换$w=1-u$得出$x^5+x+1=x^5 + (-u^2 - u + 2)x^3 + (-u^2 + 1)x^2 + x + 1$,容易得出$u=1,w=0$满足条件
而ii)中有$u+w=-1$,做替换$w=-1-u$得出$x^5+x+1=x^5 + (-u^2 - u - 2)x^3 - (u^2+1)x^2 + x + 1$显然$x^2$的系数不能为0
所以得出分解方案$x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$

hujunhua

4#的方法比较天才，或者是知道答案后的逆凑之法，不是从头开始的探索过程。
5#是对3次单位根比较熟悉的方法，但是初中貌似还没有学习复数吧。
还是@mathe的待定系数法比较现实。只不过知道一些多项式知识的话，会少设系数，简化计算。
首先要知道因式定理，则将`x=1,-1`代入可知不含因子`(x\pm1)`，所以因式最可能分解为\[
x^5+x+1=(x^2+ax+1)(x^3-ax^2+bx+1)
\]的形式。第二个因子中的系数`-a` 由 5 根之和等于 0 而推定。
这样少设至少4个系数，计算起来就比较简单了吧。
为什么不设为`(x^2+ax-1)(x^3-ax^2+bx-1)`？因为曲线`y=x^5+x+1`显然是严格单增的。

hujunhua

由上述设定的因式分解可得下述因式分解\[
x^5+x^4+1=(x^2+ax+1)(x^3+bx^2-ax+1)
\] 两式相减得\[
x^4-x=x(x-1)(x^2+x+1)=(x^2+ax+1)(a+b)x(x-1)
\]比较系数立得 `a=a+b=1`.

hejoseph

其实我发的那种方法是初中里面因式分解方法高级一些的方法，叫添项拆项法，是基于立方和里方差公式的，当然有碰运气的成分在。hujunhua最后发的那个仍然可以用这个方法：
\[
x^5+x^4+1=(x^5+x^4+x^3)-(x^3-1)=x^3(x^2+x+1)-(x-1)(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x^3-x+1)
\]

mathematica

mathe 发表于 2019-8-6 13:45
待定系数即可

1. Clear["Global`*"];
   
2. x1=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,2+I},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
   
3. RootApproximant[x1]
   
4. x2=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,2-3*I},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
   
5. RootApproximant[x2]
   
6. x3=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,2-9*I},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
   
7. RootApproximant[x3]
   
8. x4=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,0.1+0.2*I},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
   
9. RootApproximant[x4]
   

复制代码

我的办法如下，先通过牛顿迭代法，计算出一个复数根，初始值是2+I
得到这个复数根是
0.8774388331233463800247544481792643459473 + 0.7448617666197442365931704286043923672402 I
然后用
RootApproximant看是哪个方程的根，得到结果如下
\[\text{Root}\left[\text{$\#$1}^3-\text{$\#$1}^2+1\&,3\right]\]
这就相当于得到了一个因子，剩下的用多项式除法就能解决了
上面只是为了示范用复数根也能用牛顿迭代法，
其实用实数根，计算量要小些

1. x=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,8},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
   
2. RootApproximant[x]
   

复制代码

同样得到
-0.7548776662466927600495088963585286918946
\[\text{Root}\left[\text{$\#$1}^3-\text{$\#$1}^2+1\&,1\right]\]