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[提问] 一道初中题,如何因式分解?

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发表于 2019-8-6 13:16:35 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
`x^5+x+1`
这个如何用初中的办法因式分解?
我知道结果,可以用mathematica一下子就干出来了,但是这不是我要的答案!
我需要的是如何用初中的办法求解!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-8-6 13:23:07 | 显示全部楼层
我所用的办法,就是通过牛顿迭代法,然后求解出复数根,
然后通过数值解,去找出代数数,然后做到分解因式,
但是还有别的办法吗?
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-8-6 13:45:19 | 显示全部楼层
待定系数即可

点评

过程很重要  发表于 2019-8-6 14:44
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发表于 2019-8-6 13:52:51 | 显示全部楼层
\[
x^5+x+1=(x^5-x^2)+(x^2+x+1)=x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x^2(x-1)+1)=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)
\]
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发表于 2019-8-6 14:14:34 | 显示全部楼层
假设x是方程$x^2+x+1=0$的一个根,那么$x^3=1,x^(3n+2)+x+1=x^(3n)*x^2+x+1=x^2+x+1=0$,所以$x^(3n+2)+x+1$可以被$x^2+x+1$整除。
同理$x^9+x^3+x^2+x+1$可以被$x^4+x^3+x^2+x+1$整除
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发表于 2019-8-6 15:27:47 | 显示全部楼层
机械做法
首先判断$x^5+x+1$是否有一次因式,
   由于首项和末项都是1,如果存在一次因式,只能是x+1或x-1,或者说x=-1或x=1是方程的根。由于x=-1和x=1都不是方程的根,所以没有一次因式
由于不存在一次因式,所以如果能够分解,必然分解为一个二次因式和一个三次因式的乘积,由于首项末项系数都是1,只有两种情况
i) $x^5+x+1=(x^2+ux+1)(x^3+vx^2+wx+1)$
ii) $x^5+x+1=(x^2+ux-1)(x^3+vx^2+wx-1)$
比较$x^4$系数,首先可以得出v=-u,转化为
i) $x^5+x+1=(x^2+ux+1)(x^3-ux^2+wx+1)=x^5 + (-u^2 + w + 1)x^3 + ((w - 1)u + 1)x^2 + (u + w)x + 1$
ii) $x^5+x+1=(x^2+ux-1)(x^3-ux^2+wx-1)=x^5 + (-u^2 + w - 1)x^3 + ((w + 1)u - 1)x^2 - (u +w)x + 1$
所以i)中有$u+w=1$,做替换$w=1-u$得出$x^5+x+1=x^5 + (-u^2 - u + 2)x^3 + (-u^2 + 1)x^2 + x + 1$,容易得出$u=1,w=0$满足条件
而ii)中有$u+w=-1$,做替换$w=-1-u$得出$x^5+x+1=x^5 + (-u^2 - u - 2)x^3 - (u^2+1)x^2 + x + 1$显然$x^2$的系数不能为0
所以得出分解方案$x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$
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发表于 2019-8-6 15:35:27 | 显示全部楼层
4#的方法比较天才,或者是知道答案后的逆凑之法,不是从头开始的探索过程。
5#是对3次单位根比较熟悉的方法,但是初中貌似还没有学习复数吧。
还是@mathe的待定系数法比较现实。只不过知道一些多项式知识的话,会少设系数,简化计算。
首先要知道因式定理,则将`x=1,-1`代入可知不含因子`(x\pm1)`,所以因式最可能分解为\[
x^5+x+1=(x^2+ax+1)(x^3-ax^2+bx+1)
\]的形式。第二个因子中的系数`-a` 由 5 根之和等于 0 而推定。
这样少设至少4个系数,计算起来就比较简单了吧。
为什么不设为`(x^2+ax-1)(x^3-ax^2+bx-1)`?因为曲线`y=x^5+x+1`显然是严格单增的。


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发表于 2019-8-6 22:34:55 | 显示全部楼层
由上述设定的因式分解可得下述因式分解\[
x^5+x^4+1=(x^2+ax+1)(x^3+bx^2-ax+1)
\] 两式相减得\[
x^4-x=x(x-1)(x^2+x+1)=(x^2+ax+1)(a+b)x(x-1)
\]比较系数立得 `a=a+b=1`.
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发表于 2019-8-7 09:18:38 | 显示全部楼层
其实我发的那种方法是初中里面因式分解方法高级一些的方法,叫添项拆项法,是基于立方和里方差公式的,当然有碰运气的成分在。hujunhua最后发的那个仍然可以用这个方法:
\[
x^5+x^4+1=(x^5+x^4+x^3)-(x^3-1)=x^3(x^2+x+1)-(x-1)(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x^3-x+1)
\]
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 楼主| 发表于 2019-8-7 17:02:55 | 显示全部楼层

  1. Clear["Global`*"];
  2. x1=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,2+I},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
  3. RootApproximant[x1]
  4. x2=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,2-3*I},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
  5. RootApproximant[x2]
  6. x3=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,2-9*I},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
  7. RootApproximant[x3]
  8. x4=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,0.1+0.2*I},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
  9. RootApproximant[x4]
复制代码


我的办法如下,先通过牛顿迭代法,计算出一个复数根,初始值是2+I
得到这个复数根是
0.8774388331233463800247544481792643459473 + 0.7448617666197442365931704286043923672402 I
然后用
RootApproximant看是哪个方程的根,得到结果如下
\[\text{Root}\left[\text{$\#$1}^3-\text{$\#$1}^2+1\&,3\right]\]
这就相当于得到了一个因子,剩下的用多项式除法就能解决了
上面只是为了示范用复数根也能用牛顿迭代法,
其实用实数根,计算量要小些

  1. x=x/.FindRoot[x^5+x+1==0,{x,8},AccuracyGoal->40,PrecisionGoal->40,WorkingPrecision->40]
  2. RootApproximant[x]
复制代码

同样得到
-0.7548776662466927600495088963585286918946
\[\text{Root}\left[\text{$\#$1}^3-\text{$\#$1}^2+1\&,1\right]\]
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