复数根有没有二分法的办法求解办法？

mathematica

对于f(x)=x^5+x+1
f(8)>0
f(-8)<0
因此我们知道(-8,8)之间至少一个实数根，
然后使用二分法，不断缩减区间，就可以得到至少一个实数根，
但是这个方程还有四个复数根，
有没有办法依靠二分法的办法来求解复数根呢？

我知道牛顿迭代法能够求解出复数根，
但是不知道有没有二分法的办法求解出复数根呢？

我也不知道有没有，我就是提问一下，
也许真的有，但是我不知道

mathematica

牛顿迭代法对实数根可以求解出根，然后对于复数初始值，也可以求解出根，
我就想二分法行不行，
再想想弦截法是否对复数初始值有效呢？

kastin

一维情况下（求实根），二分法不需要方向信息，因为只有一个方向；但是对于复数根，是二维情形，对于存在复根的方程，必须用到方向信息（偏导数），即牛顿法。这是因为连续性导致两个维度上产生了耦合，如果不利用方向信息，那就需要无穷多个二分过程（这个无穷来源于额外的维度）；而一维情形相当于去掉了一个维度（无穷的可能性），所以显式给出的要求反而比较简单（端点上异号）。

mathe

可以数值计算1/f(x)在某个区域的围道积分，非零代表有解

mathematica

mathe 发表于 2019-8-8 12:24
可以数值计算1/f(x)在某个区域的围道积分，非零代表有解

这是个不错的思路！

mathe

一种更好的方案是计算f'(x)/f(x)的围道积分，结果是$2k pi i$,比较容易判断
像数值计算验证黎曼猜想就是用这种方法判断一个区域内部的零点数目的

mathe

https://en.wikipedia.org/wiki/Argument_principle

zeroieme

mathe 发表于 2019-8-8 12:24
可以数值计算1/f(x)在某个区域的围道积分，非零代表有解

但1/f(x)是有理式，积分需要分拆为部分分式。涉及因式分解等价求根。