已知三角形满足b^2+2ac=12，求三角形面积最大值

mathematica

有没有什么简单的办法呢？
我只会用软件计算，只会用海伦公式，或者用拉格朗日乘子法。

1. Clear["Global`*"];
   
2. p=(a+b+c)/2
   
3. Maximize[{p(p-a)(p-b)(p-c),b^2+2*a*c==12&&a>0&&b>0&&c>0},{a,b,c}]
   
4. 
   
5. f=p(p-a)(p-b)(p-c)+x*(b^2+2*a*c-12)
   
6. fa=D[f,a]
   
7. fb=D[f,b]
   
8. fc=D[f,c]
   
9. fx=D[f,x]
   
10. Solve[{fa==0,fb==0,fc==0,fx==0},{a,b,c,x}]
    
11. Solve[{fa==0,fb==0,fc==0,fx==0,a>=0,b>=0,c>=0},{a,b,c,x}]
    

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.·.·.

1. Maximize[{12/(2 Sin[a + c]/Sin[a]/Sin[c] + 4/Sin[a + c]),
   
2.   0 < a < \[Pi], 0 < c < \[Pi], 0 < a + c < \[Pi]}, {a, c}]

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然后我就不会了

hejoseph

因为
\begin{align*}
S&=\frac{1}{2}ac\sin B\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{b\sin A}{\sin B}\cdot\frac{b\sin C}{\sin B}\cdot\sin B\\
&=\frac{\sin A\sin C}{2\sin B}\cdot b^2\\
&=\frac{\cos(A-C)-\cos(A+C)}{4\sin B}\cdot b^2\\
&\leqslant\frac{1+\cos B}{4\sin B}\cdot b^2
\end{align*}
所以
\[
b^2\geqslant\frac{4\sin B}{1+\cos B}S
\]
上述两不等式当且仅当 $A=C$ 时取得等号。

因为
\[
S=\frac{1}{2}ac\sin B
\]
所以
\[
2ac=\frac{4}{\sin B}S
\]

由 $b^2+2ac=12$ 得
\[
\frac{4\sin B}{1+\cos B}S+\frac{4}{\sin B}S\leqslant 12
\]
即
\[
S\leqslant\frac{12}{4\sin B/(1+\cos B)+4/\sin B}
\]
令 $B=2\beta$，则
\begin{align*}
&\frac{\sin B}{1+\cos B}=\tan\beta\\
&\frac{1}{\sin B}=\frac{\sin^2\beta+\cos^2\beta}{2\sin\beta\cos\beta}=\frac{\tan\beta+\cot\beta}{2}
\end{align*}
所以
\[
\frac{4\sin B}{1+\cos B}+\frac{4}{\sin B}=6\tan\beta+2\cot\beta\geqslant 2\sqrt{6\times 2}=4\sqrt{3}
\]
当且仅当 $6\tan\beta=2\cot\beta$ 时取得等号，此时有 $\tan\beta=\sqrt{3}/3$，即 $\beta=30^\circ$，$B=2\beta=60^\circ$，
\[
S\leqslant\frac{12}{4\sin B/(1+\cos B)+4/\sin B}\leqslant\sqrt{3}
\]
结合最前面的不等式，当且仅当 $A=B=C=60^\circ$ 时取得等号，此时 $a=b=c=2$，面积的最大值是 $\sqrt{3}$。

mathematica

hejoseph 发表于 2019-8-15 14:54
因为
\begin{align*}
S&=\frac{1}{2}ac\sin B\\

1. (*由海伦公式中a c的对称性，b^2+2ac=12约数条件中ac的对称性，因此取极值必定在a=c的条件下得到*)
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. p=(a+b+c)/2;
   
4. c=a;
   
5. aa=p(p-a)(p-b)(p-c);
   
6. aa=FullSimplify[aa]
   
7. FullSimplify[aa/.b^2->12-2*a^2]
   
8. 
   

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(*由海伦公式中a c的对称性，b^2+2ac=12约数条件中ac的对称性，因此取极值必定在a=c的条件下得到*)

不知道这个假设是否成立，如果成立，那么问题就简单了，但是这个假设未必成立

假设成立的话，
面积为
$-\frac{1}{16} b^2 \left(b^2-4 a^2\right)$
最后的求下面函数的极值
\[-\frac{3 a^4}{4}+6 a^2-9\]
这下问题就简单很多了

mathematica

我为什么说假设不一定成立呢？
陈计的不等式，约数条件是对称的，表达式是对称的，最后的极值点不是对称的
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 164&fromuid=865

mathematica

mathematica 发表于 2019-8-15 15:23
(*由海伦公式中a c的对称性，b^2+2ac=12约数条件中ac的对称性，因此取极值必定在a=c的条件下得到*)
...

如果对称表达式在对称约数下，极值点一定在对称点上取值，那这个问题就简单了，
但是究竟什么情况下才能成立呢？什么情况下不成立呢？

mathematica

mathematica 发表于 2019-8-15 15:34
如果对称表达式在对称约数下，极值点一定在对称点上取值，那这个问题就简单了，
但是究竟什么情况下才能 ...

利用拉格朗日乘子法来求解三角形面积的极值！
我很好奇，软件是如何求解出结果的，虽然我知道是解方程组，但是我个人解不了

1. Clear["Global`*"];
   
2. p=(a+b+c)/2;
   
3. f=p(p-a)(p-b)(p-c)+x*(b^2+2*a*c-12);
   
4. fa=D[f,a];
   
5. fb=D[f,b];
   
6. fc=D[f,c];
   
7. fx=D[f,x];
   
8. Grid@Solve[{fa==0,fb==0,fc==0,fx==0},{a,b,c,x}]
   
9. Grid@Solve[{fa==0,fb==0,fc==0,fx==0},{a,b,c,x},Reals]
   
10. Grid@Solve[{fa==0,fb==0,fc==0,fx==0,a>0,b>0,c>0},{a,b,c,x}]
    

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求解结果如下：所有的根
\[
\begin{array}{cccc}
a\to -2 & b\to -2 & c\to -2 & x\to -\frac{1}{2} \\
a\to -2 & b\to 2 & c\to -2 & x\to -\frac{1}{2} \\
a\to 0 & b\to -2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to \frac{3}{2} \\
a\to 0 & b\to 2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to \frac{3}{2} \\
a\to 0 & b\to -2 \sqrt{3} & c\to -2 \sqrt{3} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to 2 \sqrt{3} & c\to -2 \sqrt{3} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to -2 \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to 2 \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to 0 \\
a\to 2 & b\to -2 & c\to 2 & x\to -\frac{1}{2} \\
a\to 2 & b\to 2 & c\to 2 & x\to -\frac{1}{2} \\
a\to -2 \sqrt{3} & b\to -2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to -2 \sqrt{3} & b\to 2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to 2 \sqrt{3} & b\to -2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to 2 \sqrt{3} & b\to 2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to -\sqrt{6} & b\to 0 & c\to -\sqrt{6} & x\to 0 \\
a\to i \sqrt{6} & b\to 0 & c\to -i \sqrt{6} & x\to 0 \\
a\to -i \sqrt{6} & b\to 0 & c\to i \sqrt{6} & x\to 0 \\
a\to \sqrt{6} & b\to 0 & c\to \sqrt{6} & x\to 0 \\
a\to (-1)^{3/4} \sqrt{6} & b\to 0 & c\to -\sqrt[4]{-1} \sqrt{6} & x\to -\frac{3}{2} \\
a\to -(-1)^{3/4} \sqrt{6} & b\to 0 & c\to \sqrt[4]{-1} \sqrt{6} & x\to -\frac{3}{2} \\
a\to \sqrt[4]{-1} \sqrt{6} & b\to 0 & c\to -(-1)^{3/4} \sqrt{6} & x\to -\frac{3}{2} \\
a\to -\sqrt[4]{-1} \sqrt{6} & b\to 0 & c\to (-1)^{3/4} \sqrt{6} & x\to -\frac{3}{2} \\
\end{array}
\]

实数根
\[
\begin{array}{cccc}
a\to -2 & b\to -2 & c\to -2 & x\to -\frac{1}{2} \\
a\to -2 & b\to 2 & c\to -2 & x\to -\frac{1}{2} \\
a\to 0 & b\to -2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to \frac{3}{2} \\
a\to 0 & b\to -2 \sqrt{3} & c\to -2 \sqrt{3} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to -2 \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to 2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to \frac{3}{2} \\
a\to 0 & b\to 2 \sqrt{3} & c\to -2 \sqrt{3} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to 2 \sqrt{3} & c\to 2 \sqrt{3} & x\to 0 \\
a\to 2 & b\to -2 & c\to 2 & x\to -\frac{1}{2} \\
a\to 2 & b\to 2 & c\to 2 & x\to -\frac{1}{2} \\
a\to -2 \sqrt{3} & b\to -2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to -2 \sqrt{3} & b\to 2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to 2 \sqrt{3} & b\to -2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to 2 \sqrt{3} & b\to 2 \sqrt{3} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to -\sqrt{6} & b\to 0 & c\to -\sqrt{6} & x\to 0 \\
a\to \sqrt{6} & b\to 0 & c\to \sqrt{6} & x\to 0 \\
\end{array}
\]

正的实数根
\[
\begin{array}{cccc}
a\to 2 & b\to 2 & c\to 2 & x\to -\frac{1}{2} \\
\end{array}
\]