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[提问] 什么情况下椭圆长轴上的点到椭圆的最短距离是长轴端点呢?

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发表于 2019-8-17 16:45:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
对于椭圆a^2+y^2/b^2=1,a>b>0
长轴(x轴)上的某一点是C(c,0),椭圆上的点到C点有最小距离,
什么情况下最小距离在(a,0)这点取得呢?
什么情况下最小距离不是在(a,0)这点取得呢?

  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. (*下面无理数,不可能被加减乘除消化掉,所以先得出一个伪符号解*)
  3. rule={a,b,c}->{\[Pi],E,EulerGamma};
  4. sol=Minimize[{(x-c)^2+y^2,x^2/a^2+y^2/b^2==1}/.Thread[rule],{x,y}]//FullSimplify
  5. (*回代得到符号解*)
  6. sol/.Thread[Reverse[rule]]

复制代码


我根据特殊解,得到伪符号解
\[\left\{\frac{e^2 \left(e^2+\gamma ^2-\pi ^2\right)}{e^2-\pi ^2},\left\{x\to \frac{\gamma  \pi ^2}{\pi ^2-e^2},y\to \frac{e \sqrt{-\pi ^2 \left(2 e^2+\gamma ^2\right)+e^4+\pi ^4}}{(e-\pi ) (e+\pi )}\right\}\right\}\]

\[\left\{\frac{b^2 \left(-a^2+b^2+c^2\right)}{b^2-a^2},\left\{x\to \frac{a^2 c}{a^2-b^2},y\to \frac{b \sqrt{a^4-a^2 \left(2 b^2+c^2\right)+b^4}}{(b-a) (a+b)}\right\}\right\}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-8-17 16:48:51 | 显示全部楼层
问题来源
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 903&fromuid=865
这个点到椭圆上的最小距离点,居然不是端点,所以我好奇地问一下
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发表于 2019-8-17 17:07:06 来自手机 | 显示全部楼层
和椭圆端点的密切圆有关。

记两端的曲率中心为`C_1`和`C_2`, 容易证明当C位于线段`C_1C_2`之外时,C到椭圆的最小距离点为较近的长轴端点。
0883C0BE-4E15-4D58-B205-F696786955D0.jpeg
如图,由椭圆的光反射性质可知,椭圆上任一点T处的法线与长轴的交点C总是处于两个焦点之间,圆C与椭圆相切于T和T',这是圆与椭圆的全部4个交点(切点为二重点),所以圆C在椭圆内,CT和CT'是椭圆到C点的最小距离。
当T和T'同时滑向端点时,由密切圆的极限定义可知圆C就趋向端点的密切圆。

密切圆的极限定义:过曲线上3点的圆,当这3点无穷逼近于其中一点时,极限圆即为该点的密切圆。



点评

界限距离是c*e,其中c表示焦点到中心点的距离,e表示椭圆的离心率  发表于 2019-8-18 13:52
请问这个用椭圆曲率半径圆怎么求  发表于 2019-8-18 08:47
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发表于 2019-8-17 18:48:30 来自手机 | 显示全部楼层
https://www.yulucn.com/question/926486554

由三角形角平分线定理可直接计算的法线与长轴交点的极限位置。
设极限位置(端点曲率中心)到原点的距离为d, 则\[
\frac{c-d}{c+d}=\frac{a-c}{a+c}→d=c^2/a
\]c为焦距(两焦点距离之半)。
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发表于 2019-8-18 08:47:27 | 显示全部楼层
请问这个椭圆端点的曲率圆怎么求?
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 楼主| 发表于 2019-8-18 13:38:01 | 显示全部楼层
笨笨 发表于 2019-8-18 08:47
请问这个用椭圆曲率半径圆怎么求
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. f=(x-c)^2+y^2+d*(x^2/a^2+y^2/b^2-1)
  3. fx=D[f,x]
  4. fy=D[f,y]
  5. fd=D[f,d]
  6. sol=Solve[{fx==0,fy==0,fd==0},{x,y,d}]//FullSimplify
复制代码

求解结果
\[
\left\{\{x\to -a,y\to 0,d\to -a (a+c)\},\{x\to a,y\to 0,d\to a (c-a)\},\left\{x\to \frac{a^2 c}{a^2-b^2},y\to -\frac{\sqrt{b^2 \left(a^4-a^2 \left(2 b^2+c^2\right)+b^4\right)}}{\sqrt{\left(a^2-b^2\right)^2}},d\to -b^2\right\},\left\{x\to \frac{a^2 c}{a^2-b^2},y\to \frac{\sqrt{b^2 \left(a^4-a^2 \left(2 b^2+c^2\right)+b^4\right)}}{\sqrt{\left(a^2-b^2\right)^2}},d\to -b^2\right\}\right\}
\]
令y=0,然后求解出c的值
  1. Solve[Sqrt[b^2 (a^4 + b^4 - a^2 (2 b^2 + c^2))]/
  2.   Sqrt[(a^2 - b^2)^2] == 0, c]
复制代码

求解出的结果
\[\left\{\left\{c\to \frac{a^2-b^2}{a}\right\},\left\{c\to \frac{b^2-a^2}{a}\right\}\right\}\]
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 楼主| 发表于 2019-8-18 13:40:16 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2019-8-18 13:38
求解结果
\[
\left\{\{x\to -a,y\to 0,d\to -a (a+c)\},\{x\to a,y\to 0,d\to a (c-a)\},\left\{x\to ...

所以我猜测的结论就是当
c的绝对值小于\(\frac{a^2-b^2}{a}\)的时候,最小距离不是左右端点
当d的绝对值大于\(\frac{a^2-b^2}{a}\)的时候,最小距离是左右端点
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 楼主| 发表于 2019-8-18 13:47:19 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2019-8-18 13:40
所以我猜测的结论就是当
c的绝对值小于\(\frac{a^2-b^2}{a}\)的时候,最小距离不是左右端点
当d的绝对 ...

为了论证我的观点,我用数值进行计算,其中一个c绝对值偏小一点点
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. a=5;
  3. b=4;
  4. c=(a^2-b^2)/a-1/10^10;
  5. f=(x-c)^2+y^2+d*(x^2/a^2+y^2/b^2-1);
  6. fx=D[f,x];
  7. fy=D[f,y];
  8. fd=D[f,d];
  9. sol=Solve[{fx==0,fy==0,fd==0},{x,y,d}]//FullSimplify
复制代码

\[\left\{\left\{x\to -5,y\to 0,d\to -\frac{67999999999}{2000000000}\right\},\left\{x\to \frac{17999999999}{3600000000},y\to -\frac{\sqrt{35999999999}}{4500000000},d\to -16\right\},\left\{x\to \frac{17999999999}{3600000000},y\to \frac{\sqrt{35999999999}}{4500000000},d\to -16\right\},\left\{x\to 5,y\to 0,d\to -\frac{32000000001}{2000000000}\right\}\right\}\]

再举一个c的绝对值偏大一点点的
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. a=5;
  3. b=4;
  4. c=(a^2-b^2)/a+1/10^10;
  5. f=(x-c)^2+y^2+d*(x^2/a^2+y^2/b^2-1);
  6. fx=D[f,x];
  7. fy=D[f,y];
  8. fd=D[f,d];
  9. sol=Solve[{fx==0,fy==0,fd==0},{x,y,d}]//FullSimplify
复制代码


计算结果中,有两个复数
\[\left\{\left\{x\to -5,y\to 0,d\to -\frac{68000000001}{2000000000}\right\},\left\{x\to 5,y\to 0,d\to -\frac{31999999999}{2000000000}\right\},\left\{x\to \frac{18000000001}{3600000000},y\to -\frac{i \sqrt{36000000001}}{4500000000},d\to -16\right\},\left\{x\to \frac{18000000001}{3600000000},y\to \frac{i \sqrt{36000000001}}{4500000000},d\to -16\right\}\right\}\]

再取正好等于的计算结果
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. a=5;
  3. b=4;
  4. c=(a^2-b^2)/a+0/10^10;
  5. f=(x-c)^2+y^2+d*(x^2/a^2+y^2/b^2-1);
  6. fx=D[f,x];
  7. fy=D[f,y];
  8. fd=D[f,d];
  9. sol=Solve[{fx==0,fy==0,fd==0},{x,y,d}]//FullSimplify
复制代码

计算结果
\[\{\{x\to -5,y\to 0,d\to -34\},\{x\to 5,y\to 0,d\to -16\}\}\]
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 楼主| 发表于 2019-8-18 13:49:39 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2019-8-18 13:47
为了论证我的观点,我用数值进行计算,其中一个c绝对值偏小一点点

\[\left\{\left\{x\to -5,y\to 0,d\ ...

由于太阳是在地球上的某一个焦点上面,
而焦点大于(a^2-b^2)/a,所以日地距离的最大值与最小值,
永远是在左右焦点上。
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