什么情况下椭圆长轴上的点到椭圆的最短距离是长轴端点呢？

mathematica

对于椭圆a^2+y^2/b^2=1,a>b>0
长轴（x轴）上的某一点是C(c,0),椭圆上的点到C点有最小距离，
什么情况下最小距离在(a,0)这点取得呢？
什么情况下最小距离不是在(a,0)这点取得呢？

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*下面无理数,不可能被加减乘除消化掉,所以先得出一个伪符号解*)
   
3. rule={a,b,c}->{\[Pi],E,EulerGamma};
   
4. sol=Minimize[{(x-c)^2+y^2,x^2/a^2+y^2/b^2==1}/.Thread[rule],{x,y}]//FullSimplify
   
5. (*回代得到符号解*)
   
6. sol/.Thread[Reverse[rule]]
   
7. 
   

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我根据特殊解，得到伪符号解
\[\left\{\frac{e^2 \left(e^2+\gamma ^2-\pi ^2\right)}{e^2-\pi ^2},\left\{x\to \frac{\gamma  \pi ^2}{\pi ^2-e^2},y\to \frac{e \sqrt{-\pi ^2 \left(2 e^2+\gamma ^2\right)+e^4+\pi ^4}}{(e-\pi ) (e+\pi )}\right\}\right\}\]

\[\left\{\frac{b^2 \left(-a^2+b^2+c^2\right)}{b^2-a^2},\left\{x\to \frac{a^2 c}{a^2-b^2},y\to \frac{b \sqrt{a^4-a^2 \left(2 b^2+c^2\right)+b^4}}{(b-a) (a+b)}\right\}\right\}\]

mathematica

问题来源
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 903&fromuid=865
这个点到椭圆上的最小距离点，居然不是端点，所以我好奇地问一下

mathe

和椭圆端点的密切圆有关。

记两端的曲率中心为`C_1`和`C_2`, 容易证明当C位于线段`C_1C_2`之外时，C到椭圆的最小距离点为较近的长轴端点。

如图，由椭圆的光反射性质可知，椭圆上任一点T处的法线与长轴的交点C总是处于两个焦点之间，圆C与椭圆相切于T和T'，这是圆与椭圆的全部4个交点（切点为二重点），所以圆C在椭圆内，CT和CT'是椭圆到C点的最小距离。
当T和T'同时滑向端点时，由密切圆的极限定义可知圆C就趋向端点的密切圆。

密切圆的极限定义：过曲线上3点的圆，当这3点无穷逼近于其中一点时，极限圆即为该点的密切圆。

mathe

https://www.yulucn.com/question/926486554

由三角形角平分线定理可直接计算的法线与长轴交点的极限位置。
设极限位置（端点曲率中心）到原点的距离为d, 则\[
\frac{c-d}{c+d}=\frac{a-c}{a+c}→d=c^2/a
\]c为焦距（两焦点距离之半）。

笨笨

请问这个椭圆端点的曲率圆怎么求？

mathematica

笨笨 发表于 2019-8-18 08:47
请问这个用椭圆曲率半径圆怎么求

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. f=(x-c)^2+y^2+d*(x^2/a^2+y^2/b^2-1)
   
3. fx=D[f,x]
   
4. fy=D[f,y]
   
5. fd=D[f,d]
   
6. sol=Solve[{fx==0,fy==0,fd==0},{x,y,d}]//FullSimplify
   

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求解结果
\[
\left\{\{x\to -a,y\to 0,d\to -a (a+c)\},\{x\to a,y\to 0,d\to a (c-a)\},\left\{x\to \frac{a^2 c}{a^2-b^2},y\to -\frac{\sqrt{b^2 \left(a^4-a^2 \left(2 b^2+c^2\right)+b^4\right)}}{\sqrt{\left(a^2-b^2\right)^2}},d\to -b^2\right\},\left\{x\to \frac{a^2 c}{a^2-b^2},y\to \frac{\sqrt{b^2 \left(a^4-a^2 \left(2 b^2+c^2\right)+b^4\right)}}{\sqrt{\left(a^2-b^2\right)^2}},d\to -b^2\right\}\right\}
\]
令y=0，然后求解出c的值

1. Solve[Sqrt[b^2 (a^4 + b^4 - a^2 (2 b^2 + c^2))]/
   
2.   Sqrt[(a^2 - b^2)^2] == 0, c]

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求解出的结果
\[\left\{\left\{c\to \frac{a^2-b^2}{a}\right\},\left\{c\to \frac{b^2-a^2}{a}\right\}\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2019-8-18 13:38
求解结果
\[
\left\{\{x\to -a,y\to 0,d\to -a (a+c)\},\{x\to a,y\to 0,d\to a (c-a)\},\left\{x\to ...

所以我猜测的结论就是当
c的绝对值小于\(\frac{a^2-b^2}{a}\)的时候，最小距离不是左右端点
当d的绝对值大于\(\frac{a^2-b^2}{a}\)的时候，最小距离是左右端点

mathematica

mathematica 发表于 2019-8-18 13:40
所以我猜测的结论就是当
c的绝对值小于\(\frac{a^2-b^2}{a}\)的时候，最小距离不是左右端点
当d的绝对 ...

为了论证我的观点，我用数值进行计算，其中一个c绝对值偏小一点点

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. a=5;
   
3. b=4;
   
4. c=(a^2-b^2)/a-1/10^10;
   
5. f=(x-c)^2+y^2+d*(x^2/a^2+y^2/b^2-1);
   
6. fx=D[f,x];
   
7. fy=D[f,y];
   
8. fd=D[f,d];
   
9. sol=Solve[{fx==0,fy==0,fd==0},{x,y,d}]//FullSimplify
   

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\[\left\{\left\{x\to -5,y\to 0,d\to -\frac{67999999999}{2000000000}\right\},\left\{x\to \frac{17999999999}{3600000000},y\to -\frac{\sqrt{35999999999}}{4500000000},d\to -16\right\},\left\{x\to \frac{17999999999}{3600000000},y\to \frac{\sqrt{35999999999}}{4500000000},d\to -16\right\},\left\{x\to 5,y\to 0,d\to -\frac{32000000001}{2000000000}\right\}\right\}\]

再举一个c的绝对值偏大一点点的

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. a=5;
   
3. b=4;
   
4. c=(a^2-b^2)/a+1/10^10;
   
5. f=(x-c)^2+y^2+d*(x^2/a^2+y^2/b^2-1);
   
6. fx=D[f,x];
   
7. fy=D[f,y];
   
8. fd=D[f,d];
   
9. sol=Solve[{fx==0,fy==0,fd==0},{x,y,d}]//FullSimplify
   

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计算结果中，有两个复数
\[\left\{\left\{x\to -5,y\to 0,d\to -\frac{68000000001}{2000000000}\right\},\left\{x\to 5,y\to 0,d\to -\frac{31999999999}{2000000000}\right\},\left\{x\to \frac{18000000001}{3600000000},y\to -\frac{i \sqrt{36000000001}}{4500000000},d\to -16\right\},\left\{x\to \frac{18000000001}{3600000000},y\to \frac{i \sqrt{36000000001}}{4500000000},d\to -16\right\}\right\}\]

再取正好等于的计算结果

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. a=5;
   
3. b=4;
   
4. c=(a^2-b^2)/a+0/10^10;
   
5. f=(x-c)^2+y^2+d*(x^2/a^2+y^2/b^2-1);
   
6. fx=D[f,x];
   
7. fy=D[f,y];
   
8. fd=D[f,d];
   
9. sol=Solve[{fx==0,fy==0,fd==0},{x,y,d}]//FullSimplify
   

复制代码

计算结果
\[\{\{x\to -5,y\to 0,d\to -34\},\{x\to 5,y\to 0,d\to -16\}\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2019-8-18 13:47
为了论证我的观点，我用数值进行计算，其中一个c绝对值偏小一点点

\[\left\{\left\{x\to -5,y\to 0,d\ ...

由于太阳是在地球上的某一个焦点上面，
而焦点大于(a^2-b^2)/a，所以日地距离的最大值与最小值，
永远是在左右焦点上。