无穷级数求和的审敛猜测

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这是我研究级数求和的时候的一个猜测，不知道正确与否？也没有看到过已知的类似结论。

存在级数$\sum_{x=1}^{\infty} f(x)$，若有

$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx->\infty $，则该级数发散。

如果$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx $收敛，则该级数收敛。

例如：

级数$\sum_{x=1}^{\infty} 1/x$，由于$\int (1/x)dx=ln x$，$\lim_{x -> \infty}ln x -> \infty$，因此该级数发散。

级数$\sum_{x=1}^{\infty} 1/{x^2}$，由于$\int (1/{x^2})dx=-1/x$，$\lim_{x -> \infty}-1/x -> 0$，因此该级数收敛。

请各位朋友证明或者推翻这个结论。

mathe

数学分析中的结论:
对于$[1,+infty)$上单调函数f(x),那么
$\sum_{n=1}^{infty}f(n)$的收敛性同定积分$int_{x=1}^{infty}f(x)dx$是否存在等价

wayne

我以前见过
确信有这么个结论
只是楼主对上下限没有给清楚，
有时间了我一定补上