趣题：10^x=x^10

mathematica

mathe 发表于 2019-8-29 10:40
根据儒歇定理，取$f(x)=x^10,f(x)+g(x)=x^10-10^x$,于是在复平面中$|x|

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. xmin=-2
   
3. xmax=2
   
4. ymin=-2
   
5. ymax=2
   
6. h1=Plot3D[Log@Abs[10^(a+I*b)-(a+I*b)^10],{a,xmin,xmax},{b,ymin,ymax},Mesh->None]
   
7. h2=Plot3D[1,{a,xmin,xmax},{b,ymin,ymax},ColorFunction->Hue,Mesh->None]
   
8. Show[{h1,h2}]
   

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先对函数取绝对值，然后再取对数，然后零点就在绝对值等于1的地方，画三维空间图,
变成下面的函数，
\[\log(| 10^{a+b i}-(a+b i)^{10}|)\]
同时画图Z=1这个水平面，
从图上看交点，有无穷多个点，为什么你说在abs（x）<=2的情况下只有有限个点呢？
我感觉我图画的没问题呀
黄色平面表示取绝对值再取对数，红色表示1

mathematica

mathematica 发表于 2019-8-30 17:19
先对函数取绝对值，然后再取对数，然后零点就在绝对值等于1的地方，画三维空间图,
变成下面的函数， ...

我整明白了，确实是十个根，因为我画图画出来了，有十个无底洞，所以有十个根！

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. xmin=-2
   
3. xmax=2
   
4. ymin=-2
   
5. ymax=2
   
6. h1=Plot3D[Log@Abs[10^(a+I*b)-(a+I*b)^10],{a,xmin,xmax},{b,ymin,ymax},Mesh->None];
   
7. h2=ContourPlot3D[a^2+b^2==2^2,{a,xmin,xmax},{b,ymin,ymax},{z,-10,10},ColorFunction->Hue,Mesh->None];
   
8. Show[{h1,h2}]
   

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圆柱内，有十个无底洞，所以十个根！

lsr314

图象比较直观一点，所有蓝色和黄色曲线的交点都表示一个解：

mathematica

lsr314 发表于 2019-8-30 17:37
图象比较直观一点，所有蓝色和黄色曲线的交点都表示一个解：

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. xmin=-2
   
3. xmax=2
   
4. ymin=-2
   
5. ymax=2
   
6. h1=ContourPlot[Re[10^(a+I*b)-(a+I*b)^10]==0,{a,xmin,xmax},{b,ymin,ymax}];
   
7. h2=ContourPlot[Im[10^(a+I*b)-(a+I*b)^10]==0,{a,xmin,xmax},{b,ymin,ymax},ColorFunction->Hue];
   
8. Show[{h1,h2}]
   

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我帮你把代码补出来了

wayne

lsr314 发表于 2019-8-30 17:37
图象比较直观一点，所有蓝色和黄色曲线的交点都表示一个解：

复平面, 函数的实部虚部的 零值线如下, 交点就是解

1. n=5;
   
2. ComplexPlot[10^x-x^10,{x,-n(1+I),n(1+I)},PlotPoints->400,Mesh->{Range[0,0],Range[0,0]},MeshFunctions->{Re[#2]&,Im[#2]&},MeshStyle->{Directive[Thickness[.005],Red],Directive[Dashed,Thickness[.005],Blue]},RegionFunction->Function[{z,f},Abs[f]<=n],BoundaryStyle->None,MeshShading->{{LightGray,White},{White, LightGray}},Epilog->{Thickness[.0001],Dashed,Circle[]},Frame->False,Axes->True]

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我来补充一个:

mathematica

wayne 发表于 2019-8-30 20:48
我来补充一个:

图画的不好，为什么呢？因为很明显应该关于x轴对称，但是你的图关于x轴不对称

mathematica

lsr314 发表于 2019-8-30 17:37
图象比较直观一点，所有蓝色和黄色曲线的交点都表示一个解：

从图像上，实部大于5的解，上下是对称的，
我感觉这些点也近似在一条直线上的，
应该有办法求解出所有解的，但是这个解应该如何表达呢？
如何求解出所有的解呢？

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. z1=x/.FindRoot[10^x - x^10, {x, 10 + 0*I}, WorkingPrecision -> 30, MaxIterations -> 100]
   
3. z2=x/.FindRoot[10^x - x^10, {x, 11 + 5*I}, WorkingPrecision -> 30, MaxIterations -> 100]
   
4. z3=x/.FindRoot[10^x - x^10, {x, 12 + 7.5*I}, WorkingPrecision -> 30, MaxIterations -> 100]
   
5. z4=x/.FindRoot[10^x - x^10, {x, 13 + 12*I}, WorkingPrecision -> 30, MaxIterations -> 100]
   
6. z5=x/.FindRoot[10^x - x^10, {x, 13 + 14*I}, WorkingPrecision -> 30, MaxIterations -> 100]
   

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我把前几个解，都用牛顿迭代法求解出来了，大家看看有啥规律，我只发现了实部增长慢，虚部增长快这个特点，别的就没了！
10.0000000000000000000000000000

10.6097093680783672366851922275 + 4.45538962584630653366189563794 I

11.4837374898580059696911414132 + 8.13395979092442264214937693053 I

12.2440542618061430185698043322 + 11.4521080432503255678656461694 I

12.8946895856906114278119848060 + 14.5940996931634756463605781803 I

mathe

曲线$e^x=(x^2+y^2)^5$， 在$y$充分大时近似为$x=10\ln(y)$

mathematica

mathe 发表于 2019-8-31 11:07
曲线$e^x=(x^2+y^2)^5$， 在$y$充分大时近似为$x=10\ln(y)$

根据我的数值计算，再根据你的推断，我猜测应该在
\(x-10 \log _{10}(y)=0\)
这条曲线上，你说的半正确！

1. FindRoot[10^x - x^10, {x, 57 + 88888*I}, WorkingPrecision -> 30,
   
2. MaxIterations -> 1000]

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计算后的结果是
{x -> 49.4884199341770836725591629323 +
   88887.7526584998484603852345219 I}

x1 = x /.
  FindRoot[10^x - x^10, {x, 57 + 88888*I}, WorkingPrecision -> 30,
   MaxIterations -> 1000]

10*Log[10, Im[x1]]/Re[x1]
计算结果是这个
0.99999998639890155699763291267
所以可以利用这个进行牛顿迭代法，然后获得解！
这些零点，都在曲线的右侧！