求三角形ABC的面积(有点难)

TSC999

楼主在 2# 楼的笛卡尔坐标系解析法，也可使用复数平面的解析法，即引用复数斜率的一套理论：

1. Clear["Global`*"];
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 11 x;
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = e = 5 x; d = y + y I; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = y - y I; a = z + z I;
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = z - z I;
   
5. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
   
6. Simplify@Solve[{(*EA^2=(CD^2):*)(a - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)) == (d - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)),(*AE\[UpTee]CD:*)
   
7.     k[a, e] == -k[c, d],(*\[EmptyUpTriangle]BDE面积=30:*) 1/2*e*y == 30,(*过滤条件:*)x > 0, y > 0, z > 0}, {x, y, z}]

复制代码

运行结果为：
{{x->2,y->6,z->16}}

nyy

1. (*求△ABC的面积(有点难) *)
   
2. (*把B放在原点, 假设C点的坐标是(11c, 0), 那么E点(5c, 0),
   
3. 由于∠B=45°, 可假设D(d, d), A(a, a), 计算出向量CD, 向量EA,
   
4. 利用向量的长度相等, 向量内积等于零(垂直), 以及△BDE的面积=30,
   
5. 列出三个方程, 然后求解三个未知数*)
   
6. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
7. (*四个坐标点赋值*)
   
8. {xa,ya}={a,a};
   
9. {xc,yc}={11c,0};
   
10. {xd,yd}={d,d};
    
11. {xe,ye}={5c,0};
    
12. ans=Solve[
    
13. {
    
14.     (xa-xe)^2+(ya-ye)^2==(xd-xc)^2+(yd-yc)^2,(*向量EA与向量CD长度相等*)
    
15.     (xa-xe)(xd-xc)+(ya-ye)(yd-yc)==0, (*向量EA与向量CD内积等于零*)
    
16.     1/2*xe*yd==30,(*△BDE面积=30*)
    
17.     SABC==1/2*xc*ya,(*求△ABC的面积*)
    
18.     a>d>c>0(*符合几何意义的变量范围*)
    
19. },
    
20. {a,c,d,SABC}]//FullSimplify;
    
21. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

求解结果如下：  a→16 c→2  d→6  SABC→176

nyy

lsr314 发表于 2019-8-30 20:16
为简化坐标，先不考虑三角形BDE面积等于30这个条件（这个条件独立于其他条件），以E为原点，BC为横轴建立坐 ...

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*利用复数法,A、D、E、C四个点复数赋值,a、d、c是待求的三个变量*)
   
3. ZA=a+a*I
   
4. ZD=d+d*I
   
5. ZE=5c+0*I
   
6. ZC=11c+0*I
   
7. ans=Solve[{
   
8.     (*复数EA=DC乘以i(也就是逆时针旋转90°)*)
   
9.     ComplexExpand@ReIm[(ZA-ZE)-(ZC-ZD)*I]==0,
   
10.     (*△BDE面积=30*)
    
11.     1/2*(5c)*d==30,
    
12.     (*求△ABC的面积*)
    
13.     SABC==1/2*(11c)*a
    
14. },{a,d,c,SABC}]
    

复制代码

利用复数，然后列方程组，相对来说不复杂！
所列的方程组相对简单，求解结果
\[\begin{array}{llll}
a\to -16 & d\to -6 & c\to -2 & \text{SABC}\to 176 \\
a\to 16 & d\to 6 & c\to 2 & \text{SABC}\to 176 \\
\end{array}
\]

由那个复数相等得到
{a - 5 c - d, a - 11 c + d} == 0
再结合
1/2*(5 c)*d == 30
就可以求解方程组得到a、c、d三个变量，剩下的一切就都简单了！


补充内容 (2023-8-9 14:04):
{a - 5 c - d, a - 11 c + d} == 0，有这个得到解{{a -> 8 c, d -> 3 c}}

nyy

我起初用方程组求解，就会觉得很难！后来换成复数求解，
发现原来也不算难！