可以有类似的公式吗？

王守恩

甲从 1～n 中任取m个不同的数，按从大到小排成 m 位数，
乙从 1～(n-1)中任取m个不同的数，按从大到小排成 m 位数，
n,m 是正整数，n>m，记甲大于乙的概率为P(n*m)，则

       \(\D\ P(n*m)=\frac{2\ n\ !-(n-1)\ !\ (n-m)-(n-m)\ !\ m\ !}{2\ n\ !}\)

甲从 1～n 中任取m个不同的数，按从小到大排成 m 位数，
乙从 1～(n-1)中任取m个不同的数，按从小到大排成 m 位数，
n,m 是正整数，n>m，记甲大于乙的概率为K(n*m)，
则K(n*m)可以有类似的公式吗？

kastin

粗略来看，本质上差不多，逆序映射即可。只不过一些特殊情形要小心处理，即0放在首位的情况，那么此时就是 m-1位数了，需要重新调整。

王守恩

kastin 发表于 2019-9-10 21:13
粗略来看，本质上差不多，逆序映射即可。只不过一些特殊情形要小心处理，即0放在首位的情况，那么此时就是  ...

甲从 1～n 中任取m个不同的数，按从大到小排成 m 位数，
乙从 1～(n-1)中任取m个不同的数，按从大到小排成 m 位数，
n,m 是正整数，n>m，记甲大于乙的概率为P(n*m)，则

       \(\D P(n*m)=\frac{2\ n\ !-(n-1)\ !\ (n-m)-(n-m)\ !\ m\ !}{2\ n\ !}\)
其中：
\(P(n*2)=(\sum_{a=1}^{n}\frac{(a-1)!(a-1)!}{0!\ 1!\ (a-1)!(a-2)!})/\frac{n!(n-1)!}{1!^2(n-1)!(n-2)!}\)
\(P(n*3)=(\sum_{a=2}^{n}\frac{(a-1)!(a-1)!}{1!\ 2!\ (a-2)!(a-3)!}+\sum_{a=2}^{n-1}\sum_{b=1}^{a-1}\frac{(b-1)!(b-1)!}{0!\ 1!\ (b-1)!(b-2)!})/\frac{n!(n-1)!}{2!^2(n-2)!(n-3)!}\)
\(P(n*4)=(\sum_{a=3}^{n}\frac{(a-1)!(a-1)!}{2!\ 3!\ (a-3)!(a-4)!}+\sum_{a=3}^{n-1}\sum_{b=2}^{a-1}\frac{(b-1)!(b-1)!}{1!\ 2!\ (b-2)!(b-3)!}+\sum_{a=3}^{n-1}\sum_{b=2}^{a-1}\sum_{c=1}^{b-1}\frac{(c-1)!(c-1)!}{0!\ 1!\ (c-1)!(c-2)!})/\frac{n!(n-1)!}{3!^2(n-3)!(n-4)!}\)
\(P(n*5)=(\sum_{a=4}^{n}\frac{(a-1)!(a-1)!}{3!\ 4!\ (a-4)!(a-5)!}+\sum_{a=4}^{n-1}\sum_{b=3}^{a-1}\frac{(b-1)!(b-1)!}{2!\ 3!\ (b-3)!(b-4)!}+\sum_{a=4}^{n-1}\sum_{b=3}^{a-1}\sum_{c=2}^{b-1}\frac{(c-1)!(c-1)!}{1!\ 2!\ (c-2)!(c-3)!}+\sum_{a=4}^{n-1}\sum_{b=3}^{a-1}\sum_{c=2}^{b-1}\sum_{d=1}^{c-1}\frac{(d-1)!(d-1)!}{0!\ 1!\ (d-1)!(d-2)!})/\frac{n!(n-1)!}{4!^2(n-4)!(n-5)!}\)
\(P(n*6)=(\sum_{a=5}^{n}\frac{(a-1)!(a-1)!}{4!\ 5!\ (a-5)!(a-6)!}+\sum_{a=5}^{n-1}\sum_{b=4}^{a-1}\frac{(b-1)!(b-1)!}{3!\ 4!\ (b-4)!(b-5)!}+\sum_{a=5}^{n-1}\sum_{b=4}^{a-1}\sum_{c=3}^{b-1}\frac{(c-1)!(c-1)!}{2!\ 3!\ (c-3)!(c-4)!}+\sum_{a=5}^{n-1}\sum_{b=4}^{a-1}\sum_{c=3}^{b-2}\sum_{d=2}^{c-1}\frac{(d-1)!(d-1)!}{1!\ 2!\ (d-2)!(d-3)!}+\sum_{a=5}^{n-1}\sum_{b=4}^{a-1}\sum_{c=3}^{b-1}\sum_{d=2}^{c-1}\sum_{f=1}^{d-1}\frac{(f-1)!(f-1)!}{0!\ 1!\ (f-1)!(f-2)!})/\frac{n!(n-1)!}{5!^2(n-5)!(n-6)!}\)

甲从 1～n 中任取m个不同的数，按从小到大排成 m 位数，
乙从 1～(n-1)中任取m个不同的数，按从小到大排成 m 位数，
n,m 是正整数，n>m，记甲大于乙的概率为K(n*m)，
其中：
\(K(n*2)=(\sum_{a=1}^{n-1}\frac{(n-a)!(n-a-1)!}{0!\ 1!\ (n-a-1)!^2})/\frac{n!(n-1)!}{1!^2(n-1)!(n-2)!}\)
\(K(n*3)=(\sum_{a=1}^{n-2}\frac{(n-a)!(n-a-1)!}{1!\ 2!\ (n-a-2)!^2}+\sum_{a=1}^{n-2}\sum_{b=a+1}^{n-1}\frac{(n-b)!(n-b-1)!}{0!\ 1!\ (n-b-1)^2})/\frac{n!(n-1)!}{2!^2(n-2)!(n-3)!}\)
\(K(n*4)=(\sum_{a=1}^{n-3}\frac{(n-a)!(n-a-1)!}{2!\ 3!\ (n-a-3)!^2}+\sum_{a=1}^{n-3}\sum_{b=a+1}^{n-2}\frac{(n-b)!(n-b-1)!}{1!\ 2!\ (n-b-2)^2}+\sum_{a=1}^{n-3}\sum_{b=a+1}^{n-2}\sum_{c=b+1}^{n-1}\frac{(n-c)!(n-c-1)!}{0!\ 1!\ (n-c-1)!^2})/\frac{n!(n-1)!}{3!^2(n-3)!(n-4)!}\)
\(K(n*5)=(\sum_{a=1}^{n-4}\frac{(n-a)!(n-a-1)!}{3!\ 4!\ (n-a-4)!^2}+\sum_{a=1}^{n-4}\sum_{b=a+1}^{n-3}\frac{(n-b)!(n-b-1)!}{2!\ 3!\ (n-b-3)^2}+\sum_{a=1}^{n-4}\sum_{b=a+1}^{n-3}\sum_{c=b+1}^{n-2}\frac{(n-c)!(n-c-1)!}{1!\ 2!\ (n-c-2)!^2}+\sum_{a=1}^{n-4}\sum_{b=a+1}^{n-3}\sum_{c=b+1}^{n-2}\sum_{d=c+1}^{n-1}\frac{(n-d)!(n-d-1)!}{0!\ 1!\ (n-d-1)!^2})/\frac{n!(n-1)!}{4!^2(n-4)!(n-5)!}\)
\(K(n*6)=(\sum_{a=1}^{n-5}\frac{(n-a)!(n-a-1)!}{4!\ 5!\ (n-a-5)!^2}+\sum_{a=1}^{n-5}\sum_{b=a+1}^{n-4}\frac{(n-b)!(n-b-1)!}{3!\ 4!\ (n-b-4)^2}+\sum_{a=1}^{n-5}\sum_{b=a+1}^{n-4}\sum_{c=b+1}^{n-3}\frac{(n-c)!(n-c-1)!}{2!\ 3!\ (n-c-3)!^2}+\sum_{a=1}^{n-5}\sum_{b=a+1}^{n-4}\sum_{c=b+1}^{n-3}\sum_{d=c+1}^{n-2}\frac{(n-d)!(n-d-1)!}{1!\ 2!\ (n-d-2)!^2}+\sum_{a=1}^{n-5}\sum_{b=a+1}^{n-4}\sum_{c=b+1}^{n-3}\sum_{d=c+1}^{n-2}\sum_{f=d+1}^{n-1}\frac{(n-f)!(n-f-1)!}{0!\ 1!\ (n-f-1)!^2})/\frac{n!(n-1)!}{5!^2(n-5)!(n-6)!}\)

则K(n*m)可以有类似的公式吗？

王守恩

王守恩 发表于 2019-9-12 07:23
甲从 1～n 中任取m个不同的数，按从大到小排成 m 位数，
乙从 1～(n-1)中任取m个不同的数，按从大到小 ...

甲从 1～n 中任取m个不同的数，按从大到小排成 m 位数，
乙从 1～(n-1)中任取m个不同的数，按从大到小排成 m 位数，
n,m 是正整数，n>m，记甲大于乙的概率为P(n*m)，则

       \(\D P(n*m)=\frac{n+m}{2n}-\frac{(n-m)\ !\ m\ !}{2\ n\ !}\)


甲从 1～n 中任取m个不同的数，按从小到大排成 m 位数，
乙从 1～(n-1)中任取m个不同的数，按从小到大排成 m 位数，
n,m 是正整数，n>m，记甲大于乙的概率为K(n*m)，则

       \(\D K(n*m)\)不可以有类似的公式吗？！

王守恩

王守恩 发表于 2019-9-13 10:22
甲从 1～n 中任取m个不同的数，按从大到小排成 m 位数，
乙从 1～(n-1)中任取m个不同的数，按从大到小 ...

先换个话题：
甲乙分别从 1～9 与 1～8 中取 3 个不同数字，求甲数字和大于乙数字和的概率。

王守恩

王守恩 发表于 2019-9-15 09:47
先换个话题：
甲乙分别从 1～9 与 1～8 中取 3 个不同数字，求甲数字和大于乙数字和的概率。

再换个话题：
甲乙分别从 1～n 与 1～(n+1) 中取 3 个不同的数，求甲数之和不小于乙数之和的取法 f(n)。
f(3)=01×1=1
f(4)=04×1+03×1+02×2+01×2=13
f(5)=10×1+09×1+08×2+06×3+04×3+02×3+01×3=74
f(6)=20×1+19×1+18×2+16×3+13×4+10×4+07×5+04×4+02×4+01×3=277
f(7)=35×1+34×1+33×2+31×3+28×4+24×5+20×6+15×6+11×6+07×6+04×5+02×4+01×3=809
f(8)=56×1+55×1+54×2+52×3+49×4+45×5+40×7+34×7+28×8+22×8+16×8+11×7+07×7+04×5+02×4+01×3=1999
f(9)=84×1+83×1+82×2+80×3+77×4+73×5+68×7+61×8+54×9+46×0+38×0+30×0+23×0+16×9+11×8+07×7+04×5+02×4+01×3
..............
求助：有什么规律吗？