正多边形对角线交点数目问题公式验证

mathe

在解决正多边形对角线交点数目的文章中，  
其中除了定理4以外，各个步骤都是通过理论分析做到的。但是定理4是通过计算机求解的，文章中没有给出过程。
其目标是找出6对共轭单位复数和为0而且这6对角度可以各选择一个使得6选择的6给角度之和正好是$pi$的倍数。
$\sum_{j=1}^6 e^{i\pi\alpha_j}+\sum_{j=1}^6 e^{-i\pi\alpha_j}=0$
在解决正多边形对角线交点数目的文章中，  
其中除了定理4以外，各个步骤都是通过理论分析做到的。但是定理4是通过计算机求解的，文章中没有给出过程。
其目标是找出6对共轭单位复数和为0而且这6对角度可以各选择一个使得6选择的6给角度之和正好是$pi$的倍数。
$\sum_{j=1}^6 e^{i\pi\alpha_j}+\sum_{j=1}^6 e^{-i\pi\alpha_j}=0$
而且$\sum_{j=1}^6 \alpha_j$是正整数（文章中要求等于1，但是如果我们要解决三角形的角格点问题中三角形外部格点问题，还需要求出其它正整数情况）
根据文章前面的分析，我们可以先得出一些候选模板:
Weight 2
        -6930,6930,(0)
Weight 3
        -9240,0,9240,(1)
Weight 4
Weight 5
        -11088,-5544,0,5544,11088,(1)
Weight 6
        -9240,-8316,-2772,2772,8316,9240,(0)
Weight 7
        -11880,-7920,-3960,0,3960,7920,11880,(1)
        -13860,-8316,-7392,-1848,1848,7392,8316,(1);removed
        -11088,-10164,-924,0,924,10164,11088,(1)
Weight 8
        -11088,-10164,-4620,-924,924,4620,10164,11088,(0)
        -9240,-8316,-7392,-1848,1848,7392,8316,9240,(0)
        -9900,-9240,-5940,-1980,1980,5940,9240,9900,(0)
Weight 9
        -13860,-12936,-7392,-3696,-1848,1848,3696,7392,12936,(1)removed
        -11220,-7920,-7260,-3960,0,3960,7260,7920,11220,(1)
        -11880,-8580,-7920,-660,0,660,7920,8580,11880,(1)
        -13860,-10560,-9900,-1980,-1320,1320,1980,9900,10560,(1)removed
Weight 10
        -11880,-8580,-7920,-4620,-660,660,4620,7920,8580,11880,(0)
        -11220,-7920,-7260,-4620,-3960,3960,4620,7260,7920,11220,(0)
        -12540,-11880,-4620,-3960,-3300,3300,3960,4620,11880,12540,(0)
        -11088,-9900,-5940,-5544,-1980,1980,5544,5940,9900,11088,(0)
Weight 11;all removed
        -12600,-10080,-7560,-5040,-2520,0,2520,5040,7560,10080,12600,(1)
        -13860,-10560,-9900,-6600,-2640,-1320,1320,2640,6600,9900,10560,(1)
        -12540,-11880,-8580,-3300,-660,0,660,3300,8580,11880,12540,(1)
        -11220,-8580,-7920,-7260,-660,0,660,7260,7920,8580,11220,(1)
Weight 12
        -12540,-11880,-8580,-4620,-3300,-660,660,3300,4620,8580,11880,12540,(0)
        -10560,-9900,-9240,-6600,-2640,-1320,1320,2640,6600,9240,9900,10560,(0)
        -11220,-8580,-7920,-7260,-4620,-660,660,4620,7260,7920,8580,11220,(0)
        -11088,-9900,-6600,-5940,-5544,-2640,2640,5544,5940,6600,9900,11088,(0)
        -11088,-10164,-9900,-5940,-1980,-924,924,1980,5940,9900,10164,11088,(0)
        -11088,-10560,-9900,-5544,-1980,-1320,1320,1980,5544,9900,10560,11088,(0)
        -13200,-11088,-5940,-5544,-5280,-1980,1980,5280,5544,5940,11088,13200,(0)
        -12012,-9900,-6468,-5940,-5544,-1980,1980,5544,5940,6468,9900,12012,(0)
        -11340,-9240,-8820,-6300,-3780,-1260,1260,3780,6300,8820,9240,11340,(0)

其中有些数据最后一个(0)代表这个模板里的数据已经正负自相匹配了，但是有些后面有(1)代表只有一个数据是孤立的。
其中每个数据还需要除以13860对应一个有理数，或者再乘上$pi$以后对应一个候选角度$\alpha_i$,比如11340,实际上代表角${9\pi}/11$
模板每一行中每个数据对应的单位复数相加结果正好是0.
现在我们的任务是将若干个模板中数据合并，凑成满足条件要求的6对$\alpha_j$(不同的$\alpha_j$可以相等）
特别的其中Weight 12的模板只能单独使用，所以我们的任务就是看能否每个模板中可以挑出6个数（不能同时挑互为相反数）和正好为13860*2=27720的倍数。
而Weight 11对应的模板无法使用，我们无法和其它模板合并以后得到12个数。
Weight 10只能和Weight 2直接合并再查看。
同样Weight 9和Weight 3合并
而Weight 8可以和两个Weight 2合并，这时就出现了变数，对于任意一个模板，如果允许使用两次，我们就可以将其中一组乘上任意一个单位复数，另外一组全部取其共轭就可以了。也就是W8+W2+W2的模式代表我们可以额外使用一个参数t。
   比如W2 (-6930,6930）使用两次，我们可以将第一个为原始数据全部+3得出(-6927,6933),然后配上它们相反数(6927,-6933).

现在的任务就是如何利用上面数据找出论文定理四中数据（以及$\sum_{j=1}^6 \alpha_j$是更大整数的结果）

dingjifen

数学大师数学水平大大的高