由因式分解产生的一个问题

manthanein

如果对于任意满足\(z^n=1\)（\(n\)为不小于3的正整数）的虚数\(z\)，整系数多项式\(f(x)\)在\(x=z\)时总是等于0，那么可否得出\(\D \frac{x^n-1}{x-1}\)是\(f(x)\)的因式？

补充内容 (2019-10-29 00:03):
f(x)的次数不小于n。

.·.·.

这不是因式定理吗？
一次的情形，你只需要设f(x)=(x-z)g(x)+c，待定系数，一步就能得到c=f(z)=0
多次也一样，设$f(x)=\frac{x^n-1}{x-1}g(x)+c(x)$，这里c的次数小于n-1，待定系数一步就出来$c(x)=0$了
并没什么难度可言

manthanein

.·.·. 发表于 2019-10-28 00:41
这不是因式定理吗？
一次的情形，你只需要设f(x)=(x-z)g(x)+c，待定系数，一步就能得到c=f(z)=0
多次也一 ...

不对吧，比如(x^5-1)/(x^3-1)，余式是x^2-1