2圆之间无穷个相切圆面积之和问题

markfang2050

如下图，最大圆半径是4单位，紧邻相切的次大圆半径是1单位，余下在之2圆间相切的圆的半径递减。求所有圆的面积之和=？
Tips:8pi^5/45

mathematica

建立坐标系，第一个圆的圆心是(0,4),第二个圆的圆心是(4,1)

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*根据圆的外切关系,列出等式,找出递推关系,
   
3. (xa,ya)是上一个圆的圆心,(xb,yb)是下一个圆的圆心*)
   
4. Solve[{
   
5.        (xb-0)^2+(yb-4)^2==(yb+4)^2,   (*两个圆心的距离等于半径和,两边平方了*)
   
6.        (xb-xa)^2+(yb-ya)^2==(yb+ya)^2 (*两个圆心的距离等于半径和,两边平方了*)
   
7.       },
   
8.       {xb,yb}
   
9. ]//FullSimplify
   
10. 
    
11. 
    
12. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
    
13. xa=4;
    
14. ya=1;
    
15. Do[
    
16.     xb=(2*xa)/(2+Sqrt[ya]);yb=xa^2/(4*(2+Sqrt[ya])^2);
    
17.     xa=xb;ya=yb;Print[{xb,yb}],
    
18.     {n,1,10}
    
19. ]
    

复制代码

我只搞出了递推表达式，(xa,ya)是上一个圆的圆心,(xb,yb)是下一个圆的圆心
\[\left\{\text{xb}\to \frac{2 \text{xa}}{\sqrt{\text{ya}}+2},\text{yb}\to \frac{\text{xa}^2}{4 \left(\sqrt{\text{ya}}+2\right)^2}\right\}\]
其中满足\(\frac{xb}{\sqrt{yb}}=4\)，也就是圆心在一个抛物线上
如果上一个半径是ra，那么下一个半径就是\(\frac{4 \text{ra}}{\left(\sqrt{\text{ra}}+2\right)^2}\)

mathematica

mathematica 发表于 2019-10-28 09:23
建立坐标系，第一个圆的圆心是(0,4),第二个圆的圆心是(4,1)

我只搞出了递推表达式，

剩下的就是如何对半径的平方求和的问题，我在这卡住了，
期待下面人的回复

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. xa=4;
   
3. ya=1;
   
4. Do[
   
5.     xb=(2*xa)/(2+Sqrt[ya]);yb=xa^2/(4*(2+Sqrt[ya])^2);
   
6.     xa=xb;ya=yb;Print[{2/Sqrt@yb}],
   
7.     {n,1,20}
   
8. ]
   

复制代码

计算结果如下
{3}
{4}
{5}
{6}
{7}
{8}
{9}
{10}
{11}
{12}
{13}
{14}
{15}
{16}
{17}
{18}
{19}
{20}
{21}
{22}
因此猜测第k个圆的半径是\(\frac{4}{k^2}\),其中最大的圆是第一个圆，半径是4，第二个圆的半径是1，然后用数学归纳法（可以简单地证明，猜想是成立的），应该可以解决问题
然后应该成立

1. Sum[1/k^4, {k, 1, Infinity}]

复制代码

得到所有正整数的四次方的倒数的和等于\[\frac{\pi ^4}{90}\]
所有圆的面积=求和pi*R^2=求和pi*16/k^4=pi*16*pi^4/90=8/45*pi^5

葡萄糖

半径参看 Ford circle
\[ \dfrac{1}{\sqrt{c\,}\,}=\dfrac{1}{\sqrt{a\,}}+\dfrac{1}{\sqrt{b\,}\,} \]
https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle
http://mathworld.wolfram.com/FordCircle.html

\begin{alignat*}{3}
\left(x-\frac{8}{2}\right)^{2}+{}&&\left(y-\frac{4}{4}\right)^{2}&\le\left(\frac{4}{4}\right)^{2}\\
\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}+{}&&\left(y-\frac{4}{9}\right)^{2}&\le\left(\frac{4}{9}\right)^{2}\\
\left(x-\frac{8}{4}\right)^{2}+{}&&\left(y-\frac{4}{16}\right)^{2}&\le\left(\frac{4}{16}\right)^{2}\\
\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+{}&&\left(y-\frac{4}{25}\right)^{2}&\le\left(\frac{4}{25}\right)^{2}\\
\end{alignat*}

《数学加德纳》
（美）克拉纳（Klarner，David A.）编；谈祥柏，唐 方 译
P 91

chyanog

1. Clear[f];
   
2. f[r1_:4,r2_]:=1/(1/Sqrt[r1]+1/Sqrt[r2])^2;
   
3. NestList[f,1,10]
   
4. FindSequenceFunction[%,i]
   
5. Sum[Pi %^2,{i,0,Infinity}]

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mathematica

chyanog 发表于 2019-10-28 15:39

原本是想通过别的回归软件来猜测通项公式的，
结果没想到自己肉眼猜测出了通项公式，
没想到mathematica软件有FindSequenceFunction这个功能。
以前只知道有Fit功能，没想到有自动猜测表达式的功能