最接近平方数的阶乘数

无心人

4！=24， 5^2=25, 5^2-4!=1
5！=120， 11^2=121, 11^2-5!=1
7!=5040,   71^2=5041, 71^2-7!=1
问，还有没有其他阶乘数，跟平方数差很小

无心人

目前找到的指标是阶乘的平方根的小数部分的值与1的差

\( MIN(1 - | \sqrt{n!} - [\sqrt{n!}]|,  | \sqrt{n!} - [\sqrt{n!}]|) \)

无心人

目前得到的结果n!,n<=10000以内
n=
224
309
879
1099
1494
2221
3739
最接近平方数

无心人

3739！的平方根小数部分前几位0.9999954

hujunhua

以前看过一道竞赛题\[n!+1=x^2\]的解答，记得只有这三个解。

无心人

hujunhua 发表于 2019-11-2 06:20
以前看过一道竞赛题\[n!+1=x^2\]的解答，记得只有这三个解。

嗯，还可以找稍微接近平方数的

这些数，大概是
\( n! = x^2 + O(x), x \in \NN \)

mathe

可以找出所有 n! 和平方数之差不超过 n 的数。

wayne

写了一个C/GMP的小程序,跑了几分钟,算出14万以内$n<=140000$, $n!$跟最接近的完全平方数的差的绝对值 小于$100n$ 的只有 $1!-11!$, 前11个数.


然后看到 老胡的评论,我立马终止了程序

即最接近 n! 的平方数，与 n! 的差最大约为`\sqrt{n!}`

1. 
   
2. #include <gmp.h>
   
3. #include <stdio.h>
   
4. 
   
5. int main()
   
6. {
   
7.     mpz_t tmp, a, b;
   
8.     mpz_init(tmp);
   
9.     mpz_init(a);
   
10.     mpz_init(b);
    
11.    
    
12.     int n = 200000;
    
13.     mpz_fac_ui(tmp,n);
    
14.     for (int i = n+1; i < 5*n; ++i) {
    
15.         mpz_mul_ui(tmp,tmp, i);
    
16.         int ans = mpz_root(a, tmp, 2);
    
17.         mpz_add_ui(b, a, 1);
    
18.         mpz_mul(a, a, a);
    
19.         mpz_mul(b, b, b);
    
20.         mpz_sub(a, tmp, a);
    
21.         mpz_sub(b, b, tmp);
    
22.         if (mpz_cmpabs_ui(a, 1000*i) < 0) {
    
23.             gmp_fprintf(stderr,"%d! - %Zd\n", i, a);
    
24.         }
    
25.         if (mpz_cmpabs_ui(b, 1000*i) < 0) {
    
26.             gmp_fprintf(stderr,"%d! + %Zd\n", i, b);
    
27.         }
    
28.         gmp_fprintf(stdout,"%d\t", i);
    
29. 
    
30.     }
    
31.     mpz_clears(tmp, a, b, '\0');
    
32. 
    
33.     return 0;
    
34. }
    
35. 
    

复制代码

hujunhua

记 `x=\lfloor\sqrt{n!}\rfloor`, 那么最接近 n! 的平方数是 `x^2` 和 `(x+1)^2`之一，
设 `x^2=n!-a,(x+1)^2=n!+b`,
则 `a+b=2x+1` → `\min(a,b)≤x<\sqrt{n!}`
所我在6#的评论应该肯定地说“最接近 n! 的平方数，与 n! 的差小于`\sqrt{n!}`”

无心人

后面的计算越来越难，主要是数字迅速变大，得分配更大的浮点数了