三角形 ABC 所在平面，求一点 P ，使P到三个顶点的距离等于3：4：5。

王守恩

三角形 ABC 所在平面，求一点 P ，使P到三个顶点的距离等于3：4：5。

northwolves

syms ax ay bx by cx cy x y t
[x,y,t]=solve([(x-ax)^2+(y-ay)^2==9*t^2,(x-bx)^2+(y-by)^2==16*t^2,(x-cx)^2+(y-cy)^2==25*t^2],[x,y,t])

王守恩

northwolves 发表于 2019-11-10 19:36
syms ax ay bx by cx cy x y t
[x,y,t]=solve([(x-ax)^2+(y-ay)^2==9*t^2,(x-bx)^2+(y-by)^2==16*t^2,(x-c ...

也可以这样：
三角形 ABC 所在平面，求一点 P ，使P到三个顶点的距离等于x：y：z。

利用三角函数解题。

1，先找角度。
   ∠CAB=A    ∠ABC=B    ∠BCA=C

2，再找长度。
   BC=sin⁡A    CA=sin⁡B    AB=sin⁡C

   PA=x*k      PB=y*k      PC=z*k

\((\sin ⁡A)^2 =(y*k)^2+(z*k)^2-2*y*k*z*k*\cos⁡\angle BPC\)

\(\cos⁡∠BPC=\frac{(y*k)^2+(z*k)^2-(\sin ⁡A)^2}{2*y*k*z*k}\)    (1)

\((\sin ⁡B)^2 =(x*k)^2+(z*k)^2-2*x*k*z*k*\cos⁡\angle CPA\)

\(\cos⁡∠CPA=\frac{(x*k)^2+(z*k)^2-(\sin ⁡B)^2}{2*x*k*z*k}\)    (2)

\((\sin ⁡C)^2 =(x*k)^2+(y*k)^2-2*x*k*y*k*\cos⁡\angle APB\)

\(\cos⁡∠APB=\frac{(x*k)^2+(y*k)^2-(\sin ⁡C)^2}{2*x*k*y*k}\)    (3)

   综合(1),(2),(3)可得 k：

\(\arccos⁡\frac{(y*k)^2+(z*k)^2-(\sin ⁡A)^2}{2*y*k*z*k}+\arccos⁡\frac{(x*k)^2+(z*k)^2-(\sin ⁡B)^2}{2*x*k*z*k}+\arccos⁡\frac{(x*k)^2+(y*k)^2-(\sin ⁡C)^2}{2*x*k*y*k}=2\pi\)  

hujunhua

圆的一种特殊定义（阿波罗尼斯圆）：到两定点的距离之比为定值的点的轨迹。

所以，这个P点就是三个阿氏圆的公共交点。