《3个火枪手》老题重温

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在古英国曾有这样一个故事：3个火枪手同时看上了一个姑娘。

这个姑娘不好选择，提出让他们以枪法一较高低，谁胜出她就嫁给谁。

第1个火枪手的枪法准确率是a，第2个火枪手的准确率是b，第3个火枪手的准确率是1。

由于谁都知道对方的实力 (a<b<1)，他们想出了一个自认为公平的方法：

第1个火枪手先开枪，然后是第2个，最后才是第3个。

按照这样的顺序循环，直至剩下1个人。

那么这3个人的胜率分别是多少？他们应采取什么策略？

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第1类特殊的案例如 (a, b) = (1/3, 2/3)，(0.3, 0.5)，(0.4, 0.7) 的结论是第1个火枪手要放空枪；

第2类特殊的案例如 (a, b) = (0.01, 0.02)，(0.08, 0.12)，(0.15, 0.2) 的结论是第1个火枪手要打第3个；

第3类特殊的案例如 (a→1, b→1) 的结论是3人轮流放空枪，无法分出胜负。

如下图所示：

参数范围

我比较好奇的问题是：

(1) 这3种情况的分界线在哪里，能在图中直接画出来吗？

(2) 除了这3种情况，还有别的情况发生吗？

mathe

这个题目公式计算会很复杂，所以可以尝试数值计算。但是模型具有一定不确定性，因为题目没有说清楚大家都选择开空枪的代价是什么，导致这种结局和其它结局不具有可比较性。由于只剩余两人的情景非常容易计算，而如果某人不选择空枪，必然向枪法更好的人射击，所以如果我们能够事先知道三人都存活时，哪些人轮到会选择空枪，那么三人存活概率就可以轻松计算出来了。根据上面分类可以有8种不同情况，其中所有人都放空枪情况无法计算，先不予考虑。现在如果我们能够找到某人，所有组合中他开枪都比空枪好(出去另外两人都空枪情况无法比较)，我们认为他必然会选择开枪。如果这样模型下去至少有两人必然会选择开枪，那么第三人是否会空枪的情况就可以唯一确定，我们可以得出一个稳定的解。如果只有一人开枪必然比空枪好，那么这时我们只需查看这人必须开枪的四种模式，如果这四种模式对于另外两人而言，同时结果不是一致的情况，这时就可能有类似囚徒困境等情况存在，任何两方之间的协作都会导致第三方失败概率的升高。当然三人都出现无法抉择的情况更是如此，在没有共同空枪的评价函数时结果是不确定的

mathe

现在感觉即使给出了三方都空枪的评价函数，结局也是不确定的

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如果无法分出胜负就3人抓阄，胜率按1/3算的话，

那死循环的分界线就清楚了：

a≥2/3 时死循环，其余情况第3个枪手会把第2个枪手干掉，胜负可分。

剩下a<2/3 时不死循环的情况：

需要对第1个枪手空枪与否进行讨论，找到"放空枪"和"打第3个"的分界线。

mathe

a<2/3必然不会大家都开空枪进入死循环。因为如果前两个选手都选择空枪，那么第三个选手也放空枪的收益为1/3，而选择打死第二个选手的收益是1-a>1/3,所以他必然不会选择空枪

mathe

a=2/3时，第一个选手必然选择空枪，但是第二个选手必然会对第三个选手开枪: 因为打死第三个选手他有1/3的存活率；但是如果放任第三个选手先开枪，他会有两种对于第三个选手结局相同的选择，放空枪或打死第二个选手。但是这两种选择对于第二个选手结局完全不同，1/3或0的存活率。所以理智的第二个选手必然不会冒这种风险而选择先向第三个选手开枪，而如果第三个选手幸存下来，怒气冲冲的他必然一枪打死第二个选手。所以这种模式下第一个选手大于2/3的存活率而百发百中的三号选手存活率最低。
感觉这里又进入囚徒困境了。

mathe

a<2/3时由于第三人的威胁，轮到第二人也必然会先向第三人开枪。所以对于第一人，第一下攻击第三人不成功和放空枪解决相等，所以他只要比较先手以b的概率面对第二人和1-b的概率面向第三人和后手面对第二人哪个更有利，就可以确定第一轮是否空枪