比较（100/99）^100、（101/100）^100和e的 大小

dlsh

这是邻居儿子高中复习卷的一道题，显然（100/99）^100和e难一眼看出来，其它两对很容易 ，他问了许多同志都没有找到答案，已经困惑了三年多。考试中当然不能借助计算器，没有更好的办法，只好认为这题用于高中复习明显是不妥当的。

markfang2050

著名的e极限啊不难吧

dlsh

不会就难，您说说。

王守恩

dlsh 发表于 2019-11-15 13:23
不会就难，您说说。

\((\frac{2}{1})^2>e>(\frac{3}{2})^2\)
\((\frac{3}{2})^3>e>(\frac{4}{3})^3\)
\((\frac{4}{3})^4>e>(\frac{5}{4})^4\)
\((\frac{5}{4})^5>e>(\frac{6}{5})^5\)
\((\frac{6}{5})^6>e>(\frac{7}{6})^6\)
\((\frac{7}{6})^7>e>(\frac{8}{7})^7\)
\((\frac{8}{7})^8>e>(\frac{9}{8})^8\)

zeroieme

现在考试有指定计算器吧，分别求自然对数来比较而已。

markfang2050

1. (1+1/99)^100>(1+1/100)^100；
2.对(1+1/x)^x求导，证明当x>0时一阶导>0恒成立，即e>(1+1/100)^100；
3.对(1+1/(x-1))^x求导，证明当x>0时一阶导<0恒成立；
4. lim(x->+∞)(1+1/(x-1))^x=lim(x->+∞)e*(1+1/(x-1))=e，即(1+1/99)^100>e；
5综上，(1+1/99)^100>e>(1+1/100)^100