3个搞物理的颠覆了数学常识，数学天才陶哲轩：我开始压根不相信

wayne

https://tech.sina.com.cn/csj/2019-11-15/doc-iihnzahi1059120.shtml

这一发现所带来的影响

简而言之，物理学家们的这一最新成果，将使人们可以仅使用特征值信息，计算出特征向量。

而在现在的教科书里，已知特征向量求特征值比较容易，但是求矩阵的特征值又比求特征向量方便。

也就是说，这一成果揭示了基础数学新的事实。

更为重要的是，在现实世界中，无论是在数学、物理学还是工程学中，许许多多的问题都涉及到特征向量和特征值的计算。

比如计算中微子振荡概率。

比如在机器学习领域，数据降维，人脸识别，都涉及矩阵特征值/特征向量理论的实际应用。


俄亥俄州立大学的粒子物理学家John Beacom指出，这一理论应用前景广泛，甚至将打开新世界的大门。

https://arxiv.org/pdf/1908.03795.pdf

zeroieme

菲尔兹奖管应用吗？我N个程序可以提升效率几个数量级。

wayne

zeroieme 发表于 2019-11-15 14:30
菲尔兹奖管应用吗？我N个程序可以提升效率几个数量级。

本文提到的贡献是 线性代数的基础理论, 比 克莱姆法则 更加基础.

葡萄糖

首先矩阵要求为Hermitian矩阵，
如下举三阶时的例子
\begin{gather*}
\boldsymbol{A}=
\begin{pmatrix}
a_{\overset{\,}11}&a_{\overset{\,}12}&a_{\overset{\,}13}\\
a_{\overset{\,}21}&a_{\overset{\,}22}&a_{\overset{\,}23}\\
a_{\overset{\,}31}&a_{\overset{\,}32}&a_{\overset{\,}33}\\
\end{pmatrix}\\
\\
\boldsymbol{A}_{\overset{\,}\{1\}}=
\begin{pmatrix}
a_{\overset{\,}22}&a_{\overset{\,}23}\\
a_{\overset{\,}32}&a_{\overset{\,}33}\\
\end{pmatrix}\qquad
\boldsymbol{A}_{\overset{\,}\{2\}}=
\begin{pmatrix}
a_{\overset{\,}11}&a_{\overset{\,}13}\\
a_{\overset{\,}31}&a_{\overset{\,}33}\\
\end{pmatrix}\qquad
\boldsymbol{A}_{\overset{\,}\{3\}}=
\begin{pmatrix}
a_{\overset{\,}11}&a_{\overset{\,}12}\\
a_{\overset{\,}21}&a_{\overset{\,}22}\\
\end{pmatrix}
\end{gather*}
\begin{gather*}
\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{\xi}_{\overset{\,}1}=\lambda_{\overset{\,}1}\boldsymbol{\xi}_{\overset{\,}1}\\
\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{\xi}_{\overset{\,}2}=\lambda_{\overset{\,}2}\boldsymbol{\xi}_{\overset{\,}2}\\
\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{\xi}_{\overset{\,}3}=\lambda_{\overset{\,}3}\boldsymbol{\xi}_{\overset{\,}3}\\
\\
\begin{split}
\boldsymbol{A}_{\overset{\,}\{1\}}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}11}=\mu_{\overset{\,}11}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}11}\\
\boldsymbol{A}_{\overset{\,}\{1\}}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}12}=\mu_{\overset{\,}12}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}12}\\
\end{split}\qquad\quad
\begin{split}
\boldsymbol{A}_{\overset{\,}\{2\}}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}21}=\mu_{\overset{\,}21}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}21}\\
\boldsymbol{A}_{\overset{\,}\{2\}}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}22}=\mu_{\overset{\,}22}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}22}\\
\end{split}\qquad\quad
\begin{split}
\boldsymbol{A}_{\overset{\,}\{3\}}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}31}=\mu_{\overset{\,}31}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}31}\\
\boldsymbol{A}_{\overset{\,}\{3\}}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}32}=\mu_{\overset{\,}32}\boldsymbol{\eta}_{\overset{\,}32}\\
\end{split}
\end{gather*}

\begin{align*}
\boldsymbol{\xi}_{\overset{\,}1}=\bigg({\xi}_{\overset{\,}11},\,{\xi}_{\overset{\,}12},\,{\xi}_{\overset{\,}13}\bigg)
\quad\quad
\begin{split}
\left|{\xi}_{\overset{\,}11}\right|^2=\dfrac{\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\mu_{\overset{\,}11}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\mu_{\overset{\,}12}\right)}{\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\lambda_{\overset{\,}2}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\lambda_{\overset{\,}3}\right)}\\
\\
\left|{\xi}_{\overset{\,}12}\right|^2=\dfrac{\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\mu_{\overset{\,}21}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\mu_{\overset{\,}22}\right)}{\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\lambda_{\overset{\,}2}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\lambda_{\overset{\,}3}\right)}\\
\\
\left|{\xi}_{\overset{\,}13}\right|^2=\dfrac{\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\mu_{\overset{\,}31}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\mu_{\overset{\,}32}\right)}{\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\lambda_{\overset{\,}2}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}1}-\lambda_{\overset{\,}3}\right)}
\end{split}
\end{align*}

\begin{align*}
\boldsymbol{\xi}_{\overset{\,}2}=\bigg({\xi}_{\overset{\,}21},\,{\xi}_{\overset{\,}22},\,{\xi}_{\overset{\,}23}\bigg)
\quad\quad
\begin{split}
\left|{\xi}_{\overset{\,}21}\right|^2=\dfrac{\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\mu_{\overset{\,}11}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\mu_{\overset{\,}12}\right)}{\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\lambda_{\overset{\,}1}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\lambda_{\overset{\,}3}\right)}\\
\\
\left|{\xi}_{\overset{\,}22}\right|^2=\dfrac{\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\mu_{\overset{\,}21}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\mu_{\overset{\,}22}\right)}{\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\lambda_{\overset{\,}1}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\lambda_{\overset{\,}3}\right)}\\
\\
\left|{\xi}_{\overset{\,}23}\right|^2=\dfrac{\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\mu_{\overset{\,}31}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\mu_{\overset{\,}32}\right)}{\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\lambda_{\overset{\,}1}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}2}-\lambda_{\overset{\,}3}\right)}
\end{split}
\end{align*}

\begin{align*}
\boldsymbol{\xi}_{\overset{\,}3}=\bigg({\xi}_{\overset{\,}31},\,{\xi}_{\overset{\,}32},\,{\xi}_{\overset{\,}33}\bigg)
\quad\quad
\begin{split}
\left|{\xi}_{\overset{\,}31}\right|^2=\dfrac{\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\mu_{\overset{\,}11}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\mu_{\overset{\,}12}\right)}{\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\lambda_{\overset{\,}1}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\lambda_{\overset{\,}2}\right)}\\
\\
\left|{\xi}_{\overset{\,}32}\right|^2=\dfrac{\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\mu_{\overset{\,}21}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\mu_{\overset{\,}22}\right)}{\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\lambda_{\overset{\,}1}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\lambda_{\overset{\,}2}\right)}\\
\\
\left|{\xi}_{\overset{\,}33}\right|^2=\dfrac{\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\mu_{\overset{\,}31}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\mu_{\overset{\,}32}\right)}{\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\lambda_{\overset{\,}1}\right)\left(\lambda_{\overset{\,}3}-\lambda_{\overset{\,}2}\right)}
\end{split}
\end{align*}

能帮忙编一个MMA的代码？

（虽然这两种方法求出来的特征向量往往是不一样的，但其分量是成比例的）
此外，新方法常常会出现根号下有根号的情况……

zeroieme

wayne 发表于 2019-11-15 18:22
本文提到的贡献是 线性代数的基础理论, 比 克莱姆法则 更加基础.

一位Hacker News网友甚至认为，这一公式的理论价值在克莱姆法则之上。

mathe

我从结论得出，如果对应的Hermite矩阵特征方程有重根，那么这个特征值还是过其对角线一元素去掉一行一列后矩阵的特征值。特别的，对于二阶Hermit阵，表示如果它两个特征值相等，那么它必然是单位阵的倍数。我感觉很难相信，结果验算一下，果然是真的

mathematica

mathe 发表于 2019-11-15 19:11
我从结论得出，如果对应的Hermite矩阵特征方程有重根，那么这个特征值还是过其对角线一元素去掉一行一列后 ...

这个有什么神奇的？
我怎么没看懂？
从特征值求特征向量，有什么神奇的吗？

dlsh

普通大学生可以发现吗