如何不用图示描述两个三点组的走向（顺时针或逆时针）相同或相反？

manthanein

判断一个点是不是在一个多边形内部，可以通过以这一点为端点的射线与多边形的边的交点来判断。
判断两个点是不是在直线的同侧，可以通过连接这两点的线段与直线的相交情况来判断。
判断两条平行射线AB、CD是否同向，可以通过线段BD和线段AC的交点来确定。
对于ABC和DEF两个三点组，有没有不依赖直接图示，就能判断两个次序排列是否同向（顺时针或逆时针）的方法呢？

.·.·.

判断一个点是不是在一个多边形内部，可以通过以这一点为端点的射线与多边形的边的交点来判断。
这个问题我没有更好的方法

判断两个点是不是在直线的同侧，可以通过连接这两点的线段与直线的相交情况来判断。
如果有直线的解析式f(x,y)=Ax+By+C=0，可以把两个点代入解析式f(x,y)看结果是否同号

判断两条平行射线AB、CD是否同向，可以通过线段BD和线段AC的交点来确定。
如果是用计算机进行判断或许会复杂很多，比如ABCD共线的情况，算交点会有问题
这个问题的解决方法应该是，计算B点坐标-A点坐标，检查结果向量的符号构成的向量，与D点坐标-C点坐标结果的符号构成的向量是否一致（有可能许多坐标的差是0，所以建议这两个符号向量相乘求和，看结果大于0（标识同号）等于0（表示不确定）还是小于0（表示异号）——当然也可以直接求向量AB跟向量CD的夹角余弦纸看看是否大于0）

对于ABC和DEF两个三点组，有没有不依赖直接图示，就能判断两个次序排列是否同向（顺时针或逆时针）的方法呢？
检查cos∠ABC与cos∠DEF是否同号

补充内容 (2019-12-15 22:41):
最后一行是检查sin∠ABC与sin∠DEF是否同号……算法是（用坐标的那种）三角形面积公式，没记错是个行列式，但长什么样子我忘了

manthanein

.·.·. 发表于 2019-12-14 20:58
判断一个点是不是在一个多边形内部，可以通过以这一点为端点的射线与多边形的边的交点来判断。
这个问题我 ...

理论上∠ABC和∠CBA是一样的吧，但顺序相反，不知道该怎么利用余弦。

gxqcn

2# 说的应该是有向角，但应该检查的是其正弦是否同号，
可用向量叉积，判断其是垂直于平面向外或向内；
也可计算其有向面积的符号（其本质原理与上述方法是一致的）。

kastin

又是计算几何问题，正好之前研究过。其实计算几何本身很少有直接计算交点之类来进行判断的，这样效率并不高（尤其是对于规模较大的情况下，这在游戏引擎中很常见），而且判断的情况大多是一个范围内属于某种情况，数学上这种类型只需要不等式就行了，也就是转化为判断正负符号问题。

第一个问题有更好更简单的方法——以内部点为坐标原点往各个顶点发射线，依次旋转一周（既然知道多边形，必然知道各个顶点的连结次序），射线转动角度代数和为 $2\pi$。但由于角度是无量纲量，且这个和是固定不变的，因此不需要每次都真的去计算反三角函数，而是通过判断方位即可，因此只需要判断顶点落在哪个象限上，然后设计一套取值规则（小心处理落在各个坐标轴上的情况），然后计算代数和。

第二个问题，无非就是方向向量到角的问题，或者说判断矢量积的符号问题，无需知道直线方程表达式。

第三个问题，仍然无需计算交点，同向意味着射线的方向向量共线且投影为正，也就是矢量积为零且内积为正。

第四个问题，默认为你所说的点是在平面上（因为你提到了顺时针和逆时针，空间不存在顺逆时针），这个问题更好办，同一个旋转方向意味着每组的三点所在平面的法向量的内积大于零，否则小于零。法向量怎么求，这个不用我说吧，相邻边矢量积就行。

kastin

说一下第一个问题的细节。
以被测点O为原点，判断各个顶点所在的象限，依次检查相邻点象限序数增加量，如果象限增加1，那么可以理解为旋转了+pi/2，如果减1，则是-pi/2，如果增加了2或者减少了2（即相对象限），那么相当于旋转了pi，具体符号跟两个顶点矢量的矢量积符号相同（也就是如果相邻点是逆时针旋转的顺序，那么就是+pi，否则就是-pi）。然后把所有旋转角代数和求出来，等于0是在外部，不等于零的则是在边上或者内部，通过求相邻点矢量积和内积来判断原点在边上与否——只要矢量积为零，内积小于或等于零，那就是在边上。当然，具体编程实现中，上面增加和减少的角度可以用一个整数编码来表示（比如用pi/2的整数倍来编码），从而避免无理数计算。

算法时间复杂度为O(n)，系数比很小，算法纯粹是乘法和加减法，非常简单。