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[讨论] 投币十次,连续三次相同的概率

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发表于 2019-12-26 12:53:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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最近有个小朋友问了一个问题,说是投币十次,出现连续三次(及以上)相同的概率有多大。

如果穷举0-1023所有的二进制数字,判断中间有连续三个一样的,可以得到结论,但是我不知道这种题目有什么通用的解决办法。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-12-26 15:46:58 | 显示全部楼层
抛硬币出现连续正面的概率
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 67&fromuid=9502
(出处: 数学研发论坛)
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发表于 2019-12-26 16:33:10 | 显示全部楼层
{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}={0,1},a*b*c=0,b*c*d=0 ,cde=0,def=0,efg=0,fgh=0,ghi=0,hij=0程序穷举没有连续3次正面的情况
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-12-27 12:50:48 | 显示全部楼层
假设`n`次投币最后(注意这个条件的理解)出现“没有连续相同”、连续 `2` 次相同的概率向量为 `X_n=(1/2, 1/4)^{\mathrm T}`. 于是可以建立递推关系
`X_{n+1}=\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&0\end{pmatrix}X_n=AX_n`
初始条件 `X_3=(1/2,1/4)`. 求出`X_{10}=A^7X_3=(0.1074,0.0664)^{\mathrm{T}}`,那么出现3次及以上相同面的概率是 `1-\mathrm{sum}(X_{10})\approx 0.8262`.
要解析表达式的话,求出矩阵A的特征值,然后利用相似矩阵就行。有空的话,可以通过模拟或者穷举验算一下结果对不对。

点评

有理表达式是 `423/512`  发表于 2019-12-30 13:55

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wangzhaoyu2 + 2 + 2 + 2 + 2

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 楼主| 发表于 2019-12-30 13:23:41 | 显示全部楼层
几天没过来了,楼上的答案是对的。
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